 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pro výpočet střední hodnoty tlaku si zvolíme pravoúhlý souřadnicový systém s osami x, y, z a nádobu o vnitřním objemu V, jejíž stěny jsou kolmé na souřadnicové osy. V nádobě nechť je N molekul a nádoba je v tepelné rovnováze s okolím. Budeme počítat tlak na stěnu, která je kolmá k ose x.
Vybereme si soubor molekul, jejichž x-ová složka rychlosti bude ležet v intervalu (vx, vx + dvx).
Těchto molekul bude
.
Z molekul, jejichž x-ová složka rychlosti je v intervalu (vx, vx + dvx), dopadnou na stěnu pouze ty molekuly, které jsou od stěny vzdáleny o méně než vx dt. Čas dt by měl být volen tak malý, aby pravděpodobnost srážky molekuly s jinou na trajektorii délky vx dt byla zanedbatelná. Za čas dt narazí na stěny ty
Obr. 5-2
molekuly se zvolenou hodnotou složky rychlostí, které jsou ve vyčárkovaném prostoru nádoby na obr. 5-2. Objem tohoto prostoru je Svx dt, objem celé nádoby V. Protože v části nádoby o jednotkovém objemu je dN(vx)/V molekul se zvolenou rychlostí, bude jich ve vyčárkovaném prostoru
 |
(5.21) |
Je-li náraz na stěnu dokonale pružný, molekula při něm neztratí energii, pouze se změní při nárazu x-ová složka rychlosti z hodnoty vx na -vx. Změna velikosti hybnosti jedné molekuly o hmotnosti m0 při jednom nárazu bude 2 m0vx . Velikost síly je rovna velikosti změny hybnosti za jednotku času, proto vyvolají nárazy dn(vx) molekul za čas dt sílu o velikosti
 |
Celkovou velikost síly určíme, započítáme-li nárazy od všech molekul, které narazí na zvolenou stěnu. Je rovna součtu příspěvků dF od molekul, jejichž x-ová složka rychlosti je z intervalu
. Tento součet vyjádříme jako integrál
 |
(5.22) |
 |
Hustota pravděpodobnosti
je funkce sudá,
, což plyne ze vztahu (5.18), nebo z úvahy, že pravděpodobnost pohybu molekuly v kladném,
nebo záporném směru x musí být stejná. Sudý je potom celý integrand ve výrazu (5.22) a platí
 |
neboť druhý integrál určuje podle (5.7c) střední hodnotu z druhé mocniny x-ové složky rychlosti.
Předchozí výpočet je typickým příkladem, jak z určité modelové představy o struktuře látky můžeme dojít k vyjádření makroskopické veličiny, v daném případě tlaku. Tlak je vyjádřen mikroskopickými veličinami hustotou molekul NV, hmotností jedné molekuly m0 a střední hodnotou druhé mocniny jedné ze složek rychlostí
. Okolnost, že ve výrazu (5.23) vystupuje x-ová složka rychlosti, není podstatná. Je důsledkem výběru plochy, na kterou jsme počítali nárazy. Právě tak jsme mohli vybrat stěnu kolmou k libovolné jiné ose. Pohyb molekul plynu je podle našich představ chaotický a žádný směr není preferován, a proto musí být
. Protože zároveň
a tato relace platí i pro střední hodnoty, bude
 |
Výraz pro tlak (5.23) proto můžeme přepsat do tvaru
 |
(5.24) |
nebo s použitím libovolné složky rychlosti
 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|