Jak plyne z definice
(3,4)
závisí práce A
vykonaná vnějšími silami na hmotný bod na hodnotách těchto sil
v bodech dané dráhy. Může však nastat případ, kdy silové pole mezi
výchozím bodem dráhy C a konečným bodem D je takového charakteru, že práce
vykonaná silami na hmotný bod nezávisí na volbě cesty mezi body C a D. Silová
pole, ve kterých práce mezi libovolnými body nezávisí na cestě, kterou tyto
body spojíme, nazýváme konzervativními.
Na obr.12 jsou znázorněny tři cesty z bodu C do bodu D.
Je-li silové pole konzervativní, musí být práce
stejná pro všechny tři dráhy. Označme
práci vykonanou konzervativními silami na
hmotný bod, přejde-li z bodu C do D po cestě I,
práci po cestě II, pak
. Pohybuje-li se hmotný bod opačným směrem, tj. z bodu D do C např. po dráze
II, označíme příslušnou práci
. Mluvíme-li o silovém poli, před-pokládáme, že síla v daném místě pole je
stále stejná (časovou závislost pole zde neuvažujeme) a pak podle
(3,5)
platí
. Práce A
vykonaná konzervativními
silami na hmotný bod, přejde-li z bodu C do D po dráze I a potom z D do C
po dráze II,
. Práce A
vykonaná po zvolené
uzavřené křivce je nulová.
V konzervativním silovém poli práce po libovolné uzavřené křivce je nulová. Této vlastnosti konzervativních silových polí se využívá k jejich obecné charakteristice ve vektorové analýze (viz např. [24], kap.7), která je adekvátní matematickou disciplinou k popisu silových a dalších vektorových polí. Je-li práce po libovolné uzavřené křivce v silovém poli nulová, lze pomocí Stokesovy věty
Stokesova věta říká, že , tedy že integrál ze skalárního součinu po uzavřené křivce c obepínající oblast o ploše S je roven integrálu z přes tuto oblast. Je-li vektorem síla , věta udává, že práce vykonaná po obvodu plochy je rovna integrálu z přes tuto plochu. Je-li práce po libovolné uzavřené křivce v nějaké oblasti nulová, musí v této oblasti být .
![]() |
Rovnost právě zavedeného vektoru
, který se nazývá rotace,
nule je užívána jako charakteristika konzervativnosti příslušného silového pole.
Je-li v nějaké oblasti v každém bodě rotace síly rovna nule, je
v této oblasti silové pole konzervativní. V poslední rovnici jsou
uvedeny složky vektoru
, které lze pro libovolný bod silového pole
vypočítat parciálním derivováním a
provedením naznačených algebraických operací.
Jako příklady konzervativních silových polí lze uvést gravitační pole a elektrostatické pole, nekonzervativní charakter mají pole odporujících sil (sil tření) (viz čl.4.4) a také pole magnetické.
V konzervativních silových polích závisí práce vykonaná
na určitý hmotný bod, přejde-li z jednoho bodu pole do druhého bodu pole,
pouze na poloze těchto bodů. Můžeme zavést veličinu závislou na polohách (tj.
na souřadnicích) bodů pole, které nám tuto práci udává. Takové veličině říkáme
potenciální energie
.
Při konkrétním zavádění potenciální energie postupujeme tak,
že v jistém bodě O zvolíme určitou hodnotu potenciální energie
. Hodnota potenciální energie
v libovolném jiném bodě X
konzervativního silového pole je dána rovnicí
kde
je práce vykonaná vnějšími silami na hmotný
bod, přejde-li z bodu O do bodu X. Práce
je funkcí polohy bodu C. Zvolíme-li soustavu
souřadnic s počátkem v bodě O, je
, kde
jsou souřadnice bodu X. Ve zvolené soustavě
souřadné lze psát
![]() |
(3,13) |
kde
je výše libovolně zvolená hodnota
potenciální energie v bodě O. Takto dostáváme potenciální energii
vyjádřenou jakožto funkci souřadnic
.
Zvolíme-li místo bodu O jiný výchozí bod
, práce
a
se budou lišit pouze o konstantu
, tj. o práci vykonanou na hmotný bod, přejde-li z bodu O do bodu
. Platí totiž (viz obr. 12´)
![]() |
Rozdíl funkce
![]() |
a funkce (3,13) je
![]() |
Jelikož
,
a
(libovolně zvolená potenciální energie
v bodě
) jsou konstantní hodnoty, liší se
funkce
a
pouze konstantu
, tedy
![]() |
Potenciální energie je funkce souřadnic jednoznačně určená
až na konstantu. Hodnotu této konstanty určíme, zvolíme-li hodnotu potenciální
energie
v jednom místě konzervativního silového
pole, např. v bodě A o souřadnicích
, tj. položíme-li
. Potom už je hodnota potenciální energie v každém bodě silového pole určena
jednoznačně.
Zvolíme dva libovolné body C a D v konzervativním
silovém poli a jejich souřadnice označíme
a
. Z rovnice
(3,13)
dostáváme pro rozdíl potenciálních energií mezi body C a
D vyjádření
![]() |
Práce
je práce vykonaná na hmotný bod, přejde-li
z bodu O do bodu C a
je práce vykonaná na hmotný bod, přejde-li
z bodu O do bodu D. S uvážením rovnice
(3,5)
lze práci
vykonanou na hmotný bod, přejde-li
z bodu C do bodu D, vyjádřit jako
, protože cesta z C do O a pak z O do D je jednou z cest z C do D.
Pro rozdíl potenciálních energií
mezi body C a D, užijeme-li pro
označení
a pro
označení
, pak můžeme psát
![]() |
(3,14) |
Rozdíl
potenciálních energií mezi libovolnými body
C a D je roven záporně vzaté práci vykonané vnějšími silami na hmotný bod,
přejde-li z bodu C do bodu D.
Veličina
v rovnici
(3,11)
a v rovnici
(3,14)
má stejný význam. Porovnáním rovnic
(3,11)
a
(3,14)
dostáváme
![]() |
neboli
![]() |
(3,15) |
Rovnice (3,15) vyjadřuje zákon zachování mechanické energie hmotného bodu . Body C a D jsou voleny libovolně a jsou vázány pouze podmínkou (viz. rovnice (3,11) ), že musí ležet na jedné trajektorii hmotného bodu. Tvrzení obsažené v rovnici (3,15) vyslovíme v tvaru:
Pohybuje-li se hmotný bod v konzervativním silovém poli,
je součet jeho kinetické a potenciální energie, který označujeme jako
mechanickou energii
, konstantní:
![]() |
(3,16) |
Rovnice (3,16) je důsledkem Newtonových zákonů pro konzervativní silová pole. Mechanické zákonitosti lze však budovat i tak, že se nevychází z Newtonových zákonů, ale do čela mechaniky se postaví funkce o rozměru energie, pro ni se stanoví základní rovnice a z nich se potom odvozují další mechanické zákonitosti. O tom se blíže poučíte v teoretické mechanice (např. [11], [12], [15], [16]).
Je třeba si uvědomit, že zákon zachování energie v podobě rovnicí (3,16) platí pouze pokud v systému působí pouze konzervativní síly, v případě nekonzervativních sil je situace složitější.
Zákon zachování energie, zde vyslovený pro pohyb hmotného bodu v konzervativním silovém poli, bývá rozšiřován na děje v různých systémech za přítomnosti konzervativních i nekonzervativních sil. Při tom se zachovává tvar rovnice (3,16) , tj. tvar, kdy součet různých energií je konstantní, a pro zachování správnosti rovnice typu (3,16) se přidávají další formy energie.
Např. při působení odporujících sil (sil typu tření) není
mechanická energie
hmotného bodu konstantní. Lze ukázat
(viz čl.4.4), že působením odporujících sil mechanická energie hmotného bodu
klesá. Mluví se o rozptylu disipaci energie a silám, za jejichž působení se
mechanická energie systému zmenšuje, se říká
disipativní síly
. Nejčastěji se působením disipativních sil pohybující
systém a jeho okolí zahřejí. Mluvíme zde raději o systému, aby později
zavedený pojem vnitřní energie systému nemusel být nevhodně vztahován
k jednomu bodu. Přitom makroskopický mechanický pohyb systému může být
popsán jako pohyb hmotného bodu. Omezíme se na případ, kdy na systém není
vykonána žádná makroskopická práce. Pak změny v okolí započteme do
energetických úvah tím, že zavedeme energii, která pohybující se systém opustí,
a kterou nazýváme teplem Q
. Jedná se o teplo, které přešlo
ze systému do okolí. Zákon zachování energie napíšeme nyní ve tvaru
![]() |
(3,17) |
kde
je mechanická energie systému a
vnitřní energie systému. Vnitřní energii
systému lze dále rozložit podle příčin jejího vzniku na několik členů a zákon
zachování energie psát ve tvaru analogickém rovnici
(3,16)
, tedy jako
konstantní součet různých druhů energií
![]() |
V poslední rovnici jedna
z
odpovídá mechanické energii
, jedna teplu Q
a ostatní různým formám
vnitřní energie systému.
zavři
Potenciální energie
zavedená ve stati 3.1.2 je funkcí souřadnic
;
,
její diferenciál (viz např. [24], kap.12) můžeme napsat ve tvaru
![]() |
(3,18) |
Rovnici
(3,13)
určující funkci
lze napsat jako
![]() |
(3,19) |
Z tohoto zápisu plyne pro diferenciál
vyjádření
![]() |
(3,20) |
Porovnáním rovnic
(3,18)
a
(3,20)
dostáváme vztah mezi
složkami síly
konzervativního silového pole a parciálními
derivacemi potenciální energie
![]() |
stručně zapsáno
![]() |
(3,21) |
V poslední rovnici je po dříve zavedené rotaci
vektoru
značené
užit další z vektorových operátorů užívaných ve vektorové analýze (viz např. [24], kap.7)
gradient funkce
značený
. Gradient funkce
je vektor, jehož složky jsou rovny
parciálním derivacím funkce dle jednotlivých souřadnic;
![]() |
(3,38) |
Diferenciál funkce d f značí přírůstek funkce. Ten závisí na přírůstcích diferenciálech d xi nezávisle proměnných vztahem (srov. (3,18) )
![]() |
(3,39) |
v kterém jsme šipkou nad symbolem gradientu zdůraznili
jeho vektorový charakter a
označili vektor, jehož složkami jsou
přírůstky nezávisle proměnných ;
.
Smysl rovnice
(3,39)
a význam pojmu gradient objasníme na
náčrtku připojeném k následující stránce. Pro zjednodušení v něm
vykreslíme rovinný případ, tj. případ, kdy funkce f
je funkcí pouze dvou proměnných
. Diferenciální rozvoj funkce f
provádíme kolem náhodně vybraného bodu o souřadnicích
, tedy bodu, který se nachází v místě o polohovém vektoru
a který jsme v náčrtku označili A.
Přírůstek (diferenciál) funkce d f
závisí na volbě vektoru
, tedy na směru a velikosti přírůstku nezávisle proměnných (diferenciálů
dxi).
Skalární součin
![]() |
(3,40) |
tedy udává v lineárním přiblížení rozdíl
hodnot funkce f
mezi bodem o polohovém
vektoru
(koncový bod vektoru
) a bodem o polohovém vektoru
(bod A). Na náčrtku jsou vyznačeny křivky
stálých hodnot funkce f
. Křivka, kde funkce f
má stejnou hodnotu jako v bodě A, je
označena f A
ostatní
. Volíme-li vektor
ve směru křivky f A, je
diferenciál d f
nulový. Z rovnice
(3,40)
pak plyne, že
je kolmý ke křivce fA
v bodě A. Je-li skalární součin roven
nule a oba vektory jej tvořící jsou nenulové, musí tyto vektory být vzájemně
kolmé. Gradient je kolmý ke křivkám v troj-rozměrném případě
k plochám stálých hodnot funkce, míří tedy ve směru maximální rychlosti
růstu funkce. To jsou charakteristické vlastnosti gradientu funkce.
Je-li funkcí, jejíž gradient určujeme, potenciální energie Ep , míří grad Ep ve směru jejího maximálního růstu a je kolmý k ploše stálé (konstantní) hodnoty této energie, kterou nazýváme ekvipotenciální plochou . Rovnici (3,21) pak můžeme interpretovat tak, že síla míří přesně proti směru maximálního růstu potenciální energie.