1.4.1 Přímočaré pohyby

Vyšetřujeme-li přímočaré pohyby, můžeme s výjimkou případů, kdy sledujeme vzájemné chování více pohybů, které se dějí po různoběžkách nebo mimoběžkách položit jednu ze souřadnicových os do přímky, v které se pohyb děje. Místo tří parametrických rovnic (1,3) popisujících obecný pohyb stačí pak rovnice jediná, kterou označíme

Často se pro označení dráhy užívá písmeno  s. Pro časovou závislost dráhy bodu na čase pak píšeme vyjádření s=s(t), které pro přímočaré pohyby je ekvivalentní s vyjádřením (1,20) .

zavři

Přímočarý rovnoměrný pohyb
Nejobecnější parametrická rovnice (1,20) pro vyjádření přímočarého rovnoměrného pohybu má tvar

kde  k₁ a k₂ jsou konstanty. Rychlost pohybu , a tedy první z konstant udává rychlost pohybu, která je zřejmě konstantní. Druhá konstanta k₂   udává polohu bodu v čase t =0. Současný požadavek rovnoměrnosti a přímočarosti pohybu vymezí tedy zcela určitý pohyb, který popíšeme parametrickou rovnicí (1,21) , proložíme-li přímkou, v níž pohyb probíhá, souřadnicovou osu x.

zavři

Přímočaré nerovnoměrné pohyby
Přímočarým nerovnoměrným je každý pohyb, který probíhá v přímce s výjimkou pohybu popsaného rovnicí (1,21) . Vymyslíme-li si nějakou obecnou funkci  x = x(t), např.

kde , ,   jsou konstanty, bude pohyb popsaný takovou funkcí pohybem přímočarým nerovnoměrným. Lze se o tom přesvědčit, vypočteme-li rychlost pohybu. Pro námi zvolený příklad dostáváme

a tedy velikost rychlosti v zřejmě není s časem konstantní.

Pohyb je nerovnoměrný.

Z nerovnoměrných přímočarých pohybů podrobněji vyšetříme dva pohyb rovnoměrně zrychlený a pohyb harmonický.

Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený
Jako přímočarý rovnoměrně zrychlený označujeme pohyb, který se děje po přímce a který má konstantní zrychlení. Takový pohyb je obecně popsán parametrickou rovnicí

kde k₁, k₂, k₃   jsou konstanty. Rychlost pohybu

a zrychlení

Z rovnice (1,24) plyne, že konstanta k₁=a/2. Význam konstanty  k₂   získáme z rovnice (1,23) , položíme-li čas t =0. Konstanta k₂ je rovna rychlosti bodu v čase t =0, tedy tzv. počáteční rychlost bodu, kterou značíme  v₀. Stejným způsobem zjistíme, že konstanta k₃ má význam polohy bodu v čase  t =0, kterou značíme  x₀. Dosadíme-li do rovnice (1,22) význam konstant  k_i, můžeme ji přepsat na obvyklý tvar rovnice rovnoměrně zrychleného pohybu:

V případě, že zrychlení je záporné,  a<0, se někdy pohyb popsaný rovnicí (1,22´) označuje jako rovnoměrně zpožděný.

Harmonický pohyb
Harmonickým nazýváme takový pohyb bodu, pro který závislost polohy bodu na čase je dána harmonickou funkcí, tj. funkcí kosinus, sinus nebo jejich lineární kombinací. Použijeme-li zápisu užívajícího funkci sinus, zapíšeme harmonický pohyb probíhající podél přímky, kterou jsme proložili osu x, v tvaru

V rovnici (1,25) harmonického pohybu, který bývá též nazýván harmonickým kmitem, užíváme pro kladnou konstantu  A (A>0) označení amplituda kmitu a pro výraz fáze kmitu. Kladná konstanta w (w > 0) se nazývá kruhová nebo též úhlová frekvence a konstanta a fázová konstanta (počáteční fáze). Koná-li bod harmonický kmit (1,25) , pohybuje se pouze po úsečce . Střed této úsečky, který leží v bodě x₀, se nazývá rovnovážná poloha bodu. Při vyšetřování harmonického pohybu se často klade počátek souřadnicové osy, tj. bod x=0, do rovnovážné polohy kmitajícího bodu. Potom je .

Harmonický kmit je pohybem periodickým. Po době (časovém intervalu)

kterou nazýváme dobou kmitu , se celý průběh pohybu opakuje. Převrácená hodnota doby kmitu udává kolik kmitů bod vykoná za jednotku času. Tuto veličinu nazýváme frekvencí

a její vztah k úhlové frekvenci w plyne z rovnice (1,26)

Použijeme-li vzorce  k úpravě výrazu (1,25) , dostáváme

Výrazy  jsou konstantní a můžeme je označit postupně c ,d. S tímto označením přejde rovnice (1,25) na ekvivalentní tvar

který bývá pro vyjádření harmonického pohybu také užíván.

Harmonický pohyb je rovnicí (1,29) vyjádřen jako součet harmonických funkcí  a  s různými koeficienty c a d. Pro vzájemný přepočet vyjádření (1,25) a (1,29) harmonického pohybu zřejmě platí vzorce

Vyjdeme-li ze zápisu harmonického pohybu ve tvaru (1,25) , dostáváme jeho derivací (srov. rov. (1,11) ) pro rychlost harmonického pohybu vyjádření

Dalším derivováním (srov. rov. (1,14) ) pak získáme zrychlení harmonického pohybu ;

Rychlost  v a zrychlení  a   v rovnicích (1,31) a (1,32) jsou vektory v přímce  x   (v průběhu času nabývají kladných i záporných hodnot) a nesmějí být zaměňovány s velikostí vektorů rychlosti a zrychlení (velikost vektoru je kladná hodnota nebo nula), i když pro ně bývá užíván stejný symbol. (Srovnej s poznámkou pod čarou na stránce 19.)

Rychlost i zrychlení harmonického pohybu jsou opět harmonickými funkcemi času. Velikost rychlosti má maximální hodnotu v rovnovážné poloze, velikost zrychlení je maximální v krajních polohách pohybu. Porovnáme-li rovnici (1,32) s rovnicí (1,25) , dostáváme důležitý vztah mezi zrychlením  a   a výchylkou harmonického pohybu:

zavři

1.4.2 Křivočaré pohyby

Jako křivočaré označujeme pohyby, které se nekonají po přímce. Zůstává-li bod, který koná křivočarý pohyb, stále v jedné rovině, můžeme jej v této rovině popěma parametrickými rovnicemi

Takový pohyb označujeme jako rovinný křivočarý pohyb. Příkladem takových pohybů jsou dále probírané pohyby po kružnici rovnoměrný a nerovnoměrný kruhový pohyb. Pohybuje-li se bod v celém prostoru, např. pohybuje-li se po šroubovici, musíme k jeho popisu použít všech tří parametrických rovnic (1,3) .

zavři

Křivočaré rovnoměrné pohyby
Jsou to pohyby, které se nekonají po přímce, ale velikost rychlosti při nich zůstává stálá. Vektor rychlosti bodu konajícího takový pohyb mění pouze svůj směr, ale nemění svou velikost. Nejznámějším pohybem tohoto druhu je rovnoměrný pohyb po kružnici, který běžně nazýváme rovnoměrný kruhový pohyb.

Rovnoměrný kruhový pohyb
Trajektorie tohoto pohybu je popsána parametrickými rovnicemi

Veličiny R>0, w, a, ,  jsou konstanty. Dráhu pohybu (srov. stať 1.2.4) určíme, když z rovnic (1,34) vyloučíme proměnný parametr  t   (čas). Postup je takový, že nejprve převedeme konstanty  a  na levou stranu rovnic, pak obě rovnice umocníme na druhou a sečteme je. Dostaneme rovnici kružnice

Drahou pohybu je tedy kružnice o poloměru  R  se středem v bodě o souřadnicích , . Fázová konstanta (počáteční fáze) určuje polohu bodu v čase .

Rychlost   pohybu má složky, které vypočteme derivací rovnic (1,34) (srov. rovnice (1,11) )

Velikost rychlosti

Rovnice (1,37) ukazuje, že velikost rychlosti  v   je konstantní, a tedy pohyb je rovnoměrný. Je podobná rovnici  známé ze středoškolského výkladu jako rovnice, která udává vztah mezi postupnou rychlostí v a úhlovou rychlostí  w   kruhového pohybu. Úhlová i postupná rychlost mohou být jak kladné, tak i záporné. Znaménko udává, v jakém smyslu bod po kružnici obíhá (ve smyslu nebo proti smyslu oběhu hodinových ručiček). Velikost vektoru může být jen kladná, proto je v  rovnici (1,37) úhlová rychlost v absolutní hodnotě.

Později, při vyšetřování nerovnoměrného kruhového pohybu, se setkáme s úhlovou rychlostí, která je funkcí času ; . V  čl.2.4 rozšíříme pojem úhlové rychlosti na vektorovou veličinu   a v  kapitole 5 budeme uvažovat časovou závislost   tohoto vektoru. Úhlová frekvence zavedená rovnicí (1,25) a úhlová rychlost jsou tedy různé veličiny, i když vzhledem k některým analogiím a stejnému fyzikálnímu rozměru (s ¹) bývá pro ně užíván stejný symbol w.

Složky zrychlení   rovnoměrného kruhového pohybu získáme (srov. rov. (1,14) ) derivací odpovídajících složek (1,36) vektoru rychlosti. Dostaneme

Zavedeme vektor , který má počátek ve středu kružnice (1,35) a konec v místě okamžité polohy bodu konajícího kruhový pohyb (1,34) . Složky vektoru   jsou , tedy

Porovnáme-li rovnice (1,38) a (1,34) , vidíme, že mezi vektory   a ; platí vztah

Vektor  míří od středu kružnice k místu, kde se nachází bod a zrychlení bodu má dle rovnice  (1,39) stejný směr a opačný smysl, míří tedy do středu kružnice. Proto se mu říká zrychlení dostředivé. Pro jeho velikost plyne z rovnice (1,39) vyjádření

kde při úpravách bylo užito skutečnosti, že velikost vektoru  je rovna poloměru kružnice  R   a mezi úhlovou a postupnou rychlostí platí vztah (1,37) .

Vypočteme-li skalární součin vektorů nbsp; (1,38) a   (1,36) , dostaneme . Vektory  a  jsou vzájemně kolmé. Uvědomíme-li si, že rychlost  má směr tečny kružnice a zrychlení  směr poloměru, je kolmost těchto vektorů zřejmá i z názoru. Tečná složka vektoru zrychlení je nulová, a proto celkové zrychlení  je totožné s normálovým zrychlením . Tento závěr platí pro všechny rovnoměrné křivočaré pohyby, protože z jejich charakteristické vlastnosti  plyne (srov. rov. (1,18) ), že tečná složka jejich zrychlení je vždy nulová.

Mezi úhlovou rychlostí  w   rovnoměrného kruhového pohybu a počtem  f , kolikrát bod za jednotku času (sekundu) oběhne kružnici, platí vztah analogický rovnici (1,28)

Veličině  f   se říká počet obrátek za jednotku času nebo též frekvence kruhového pohybu. Doba T, za kterou bod oběhne kružnici jednou dokola, se nazývá doba oběhu a platí pro ni vztah

Rovnoměrný pohyb může bod konat po libovolné křivce. Jako další příklad uvedeme rovnoměrný pohyb po šroubovici . Jeho parametrický popis při vhodném umístění šroubovice je dán rovnicemi

kde kromě konstant užitých při popisu rovnoměrného kruhového pohybu je konstantní i veličina  k . Důkaz, že rovnice (1,41) popisují pohyb po šroubovici a že pohyb je rovnoměrný, ponecháváme čtenáři.

zavři

Křivočaré nerovnoměrné pohyby
Křivočarý nerovnoměrný pohyb je nejobecnější druh pohybu. Vybereme-li za parametrické rovnice pohybu libovolné tři funkce , s největší pravděpodobností pohyb jimi popsaný bude pohybem křivočarým nerovnoměrným. Z těchto všech možných pohybů podrobněji popíšeme pouze nerovnoměrný pohyb po kružnici.

Nerovnoměrný pohyb po kružnici
Obecný pohyb po kružnici, která má střed v počátku souřadnicové soustavy, je popsán parametrickými rovnicemi

kde R je konstanta a j(t) libovolná funkce času t. Umocníme-li obě rovnice na druhou a sečteme je, vypadne nám parametr  t   a dostaneme rovnici dráhy

Drahou je tedy zřejmě kružnice o poloměru R.  Funkce j(t)  udává, jak rychle bod po kružnici obíhá. Z obr.5 je patrný její význam. Udává úhel, který svírá polohový vektor   (průvodič) bodu s kladným směrem osy .

Rychlost   pohybu (1,42) má složky

Velikost rychlosti   je konstantní pouze, když výraz   udávající úhlovou rychlost w   pohybu je konstantní (konstantu označíme k). Z podmínky   integrací plyne . Pohyb je tedy rovnoměrný, jen když úhel j   je lineární funkcí času. Označíme-li w  konstantu k a a   konstantu , vidíme, že jde o případ popsaný rovnicemi (1,34) , tedy o rovnoměrný kruhový pohyb podrobněji rozebraný v předcházejícím odstavci. Pro každou jinou než lineární závislost úhlu  j   na čase je pohyb popsaný rovnicemi (1,42) pohybem nerovnoměrným. Ovšem i pro nerovnoměrný pohyb udává výraz   změnu úhlu j   s časem, a tedy úhlovou rychlost pohybu w. Rovnice (1,37) zůstává v platnosti i pro nerovnoměrný kruhový pohyb, ovšem w   je obecnou nekonstantní funkcí času t; .

Drahou obecného pohybu po kružnici nemusí být celá kružnice , jako je tomu na obr.5, ale jen její část. Typickým příkladem takového pohybu je pohyb, který koná koncový bod matematického kyvadla (viz obr.87 v čl.7.2). Rozbor zde provedený se vztahuje i na případ matematického kyvadla. Pohyb, při kterém hmotný bod obíhá celou kružnici, bývá často nazýván nerovnoměrný kruhový pohyb.

Složky vektoru zrychlení   nerovnoměrného kruhového pohybu dostaneme standardním postupem, tj. derivováním rovnic (1,43) dle času t.  Protože však nyní úhlová rychlost   není konstantní, je výsledek podstatně složitější než v případě (1,38) :

Vypočteme-li dle rovnice (1,15) složku tečného zrychlení do směru rychlosti , dostaneme

Předchozí výsledek

můžeme obdržet také podstatně pohodlněji, když dle pravidla (1,18) derivujeme rychlost   dle času t. Dle rovnice (1,16) je vektor tečné složky zrychlení , a tedy

Vektor normálové složky zrychlení  (srov. (1,17) ). S přihlédnutím k rovnicím (1,44) můžeme pak vektor   zapsat jako

Srovnáme-li výraz pro   s rovnicemi (1,42) , ověříme si, že vektor   má dostředivý směr  míří do středu kružnice, po které se bod pohybuje. Z vektorového vyjádření normálového zrychlení   je zřejmé, že jeho velikost

Můžeme tak, alespoň pro případ obecného pohybu po kružnici, dokázat platnost rovnice (1,19) .

Porovnáme-li vyjádření vektorů tečného  a normálového  zrychlení s vyjádřením (1,44) celkového vektoru zrychlení , je patrné, že první sčítance na pravých stranách rovnic (1,44) odpovídají složkám vektoru  a druhé sčítance složkám vektoru .

U nerovnoměrného pohybu po kružnici je tečná složka vektoru zrychlení  nenulová, a tedy vektor zrychlení  nemíří do středu kružnice jako jeho normálová složka . Vektor zrychlení  míří obecně do kruhu, a to buď před průvodič (polohový vektor)  bodu, jako je znázorněno na obr.5, nebo za tento průvodič.

zavři