---

---

1.2 Rychlost a zrychlení

Rovnicemi (1,3) je pohyb bodu zcela popsán. Chceme-li však podrobněji sledovat jednotlivé pohyby a získat kriteria pro jejich rozlišení, je výhodné zavést některé další charakteristiky pohybů. První takovou charakteristikou je rychlost.

1.2.1 Rychlost přímočarého rovnoměrného pohybu

Způsob zavedení rychlosti v pro pohyb popsaný rovnicemi (1,5) je všeobecně známý. Stačí vybrat libovolné dva časové okamžiky t₁ a t₂ , najít jim odpovídající souřadnice x₁(t₁), x₂(t₁) a x₁(t₂), x₂(t₂)  neboli stručně zapsáno x_i(t₁) a x_i(t₂), stanovit vzdálenost

poloh x_i(t₁) a x_i(t₂) a vydělit ji časovým intervalem t₂t₁. Tak dostaneme pro rychlost v vyjádření

.

(1,7)

Dosadíme-li do rovnice (1,7) konkrétní hodnoty (1,5) , dostáváme

.

Rychlost nezávisí na tom, které dva časové okamžiky t₂, t₁ zvolíme.

Výraz (1,7) udává pouze velikost rychlosti. Více informací o daném pohybu získáme, zavedeme-li rychlost jakožto vektorovou veličinu. Ta kromě velikosti rychlosti zachytí i směr pohybu bodu. Pro pohyb popsaný rovnicemi (1,5) jsou ve zvolené souřadnicové soustavě složky vektoru rychlosti dány výrazy SETEQS2('knihI10do_soubory/eq0016M.gif','knihI1do_soubory/eq0017M.gif','(1,8)','a','.','2.8','.84'); Lze se snadno přesvědčit, že velikost vektoru , je rovna výrazu (1,7) a že směr vektoru leží v přímce x₂= (4/3)x₁, po které se bod pohybuje. Přitom orientace vektoru odpovídá orientaci pohybu bodu po přímce.

1.2.2 Rychlost obecného pohybu

V případě pohybu daného rovnicemi (1,6) není již způsob jak zavést rychlost tak zřejmý. Vzdálenosti, které hmotný bod urazí v různých, byť stejně dlouhých časových intervalech, jsou různé. I směr pohybu se stále mění. Kdybychom použili k vyjádření složek vektoru rychlosti rovnic (1,8) , dostali bychom výrazy podstatně závislé na volbě časů t₁ a t₂ . Velikost takto zavedeného vektoru je rovna vzdálenosti bodů x_i(t₁) a x_i(t₂), ve kterých se pohybující bod nachází v časech t₁ a t₂, dělené časovým intervalem a ne délce dráhy mezi body x_i(t₁) a x_i(t₂) dělené časovým intervalem. Odhlédneme-li od této skutečnosti, mohli bychom rychlost zavedenou dle rovnice (1,8) pokládat za jakousi průměrnou rychlost v časovém intervalu . Ovšem charakterizovat rychlost pohybu pomocí veličiny, u které bychom museli udávat interval, ke kterému je nutno ji připisovat, je nevýhodné. Proto se snažíme zavést pro libovolný pohyb rychlost jakožto veličinu, kterou lze přisoudit bodu v jediném okamžiku, podobně jako je mu rovnicemi (1,3) v jediném okamžiku přiřazena poloha.

Na obr.3 je znázorněn úsek dráhy obecného pohybu bodu. Jsou na něm znázorněny polohy bodu x_i(t₁) v čase t₁ a x_i(t₂) v čase t₂. Rozdíly souřadnic můžeme pokládat za složky vektoru , jehož počátek je v bodě a konec v bodě . Velikost tohoto vektoru je rovna vzdálenosti mezi body a . Vydělíme-li vektor délkou časového intervalu , dostaneme průměrnou rychlost v ča-sovém intervalu v tom smyslu, v jakém jsme o ní hovořili v předcházejícím odstavci, tj. jako rychlost po sečně a ne po oblouku dráhy. Použijeme-li složkové symboliky, dostáváme pro průměrnou rychlost vyjádření odpovídající rovnicím (1,8)

.

(1,9)

Chceme-li nyní dostat rychlost v_i jako charakteristiku pohybu vztahující se k jednomu okamžiku t´, je přirozené zavést ji jako limitu výrazu (1,9) , blíží-li se hodnoty t₂ a t₁ hodnotě t´ (t₁ < t´ < t₂) ; neboli

.

(1,10)

V tomto limitním přiblížení vymizí též rozdíly mezi průměrnou rychlostí uvažovanou, tak jak je tomu v rovnici (1,9) jako délka sečny dělená časovým intervalem, a průměrnou rychlostí uvažovanou jako délka skutečné dráhy mezi body x_i(t₁) a x_i(t₂) dělená časovým intervalem. Velikost rychlosti podle prvé definice je vždy nejvýše rovná velikosti rychlosti podle druhé z definic, přičemž rovnost nastane pouze, když se pohyb v uvažovaném časovém intervalu děje po přímce.

Limita na pravé straně rovnice (1,10) je definiční limitou pro derivaci funkce x_i(t)  pro hodnotu nezávisle proměnné t´. Hodnotu t´, pro kterou limitu z rovnice (1,10) počítáme, můžeme zvolit libovolně. Označíme ji tedy t   a pro složky rychlosti v_i pohybu v čase  t budeme s použitím pojmu derivace psát stručné vyjádření

.

(1,11)

Podobně jako jsme u rovnic (1,2) předpokládali, že popisují křivku, i zde budeme předpokládat, že jsou splněny matematické předpoklady pro existenci derivace. Pro rovnice popisující reálné pohyby je to téměř jisté.

Vypočteme-li dle pravidla (1,11) složky rychlosti v₁, v₂ a velikost rychlosti v pro pohyb daný rovnicemi (1,5) , dostaneme výsledky shodné s výsledky získanými z rovnic (1,8) a (1,7) .

Tedy rovnice (1,11) jsou rozšířením známého způsobu, jakým byla zavedena rychlost pro rovnoměrný přímočarý pohyb.

1.2.3 Zrychlení

Další důležitou charakteristikou pohybu je změna jeho rychlosti s časem, kterou nazýváme zrychlením. Má-li bod v čase  t₁ rychlost v_i (t₁) a v čase t₂ rychlost v_i (t₂), označíme jako průměrné zrychlení v časovém intervalu  <t₁, t₂> veličinu (vizobr.4)

.

(1,12)

Obdobně jako jsme rovnicí (1,10) zavedli okamžitou rychlost v_i,  zavedeme okamžité zrychlení a_i v čase t´ (t₁<t´<t₂) jako limitu výrazu (1,12)

.

(1,13)

Znovu lze uvést, že limita na pravé straně rovnice (1,13) definuje derivaci funkce v_i(t) dle času t (derivovat vektor znamená derivovat všechny jeho složky) a čas t´ lze volit libovolně. Tedy vektor zrychlení v čase t je derivací vektoru rychlosti;

.

(1,14)

1.2.4 Stanovení dráhy, rychlosti a zrychlení pohybujícího se bod

Popis pohybu bodu, stanovení jeho dráhy, rychlosti a zrychlení jsou základními úkoly kinematiky bodu. Uvedeme schéma, podle kterého lze tyto úkoly plnit:

Pohyb bodu v prostoru popisujeme parametrickými rovnicemi, které, zvolíme-li kartézskou soustavu souřadnic, mají tvar

.

(1,3)

V rovnicích (1,3) parametr t znamená čas. Parametrické rovnice x_i = x_i(t) popisují trajektorii bodu, tj. jeho dráhu s uvážením času, kdy se v kterém místě dráhy bod nachází. Poslední rovnice popisuje pohyb bodu zapsáním časového vývoje jeho polohového vektoru . Tvar dráhy bodu získáme vyloučením parametru t z parametrických rovnic.

Rychlost bodu pohybujícího se po trajektorii (1,3) určíme derivováním rovnic (1,3) dle času t;

.

(1,11)

Rychlost takto určená je opět funkcí času t. Vypočteme-li dle rovnice (1,3) času t odpovída­jící polohu x_i(t)  bodu na trajektorii, můžeme rychlost pokládat i za funkci polohy bodu.

Zrychlení určíme derivováním rovnic (1,11) dle času t;

.

(1,14)

Rovnicemi (1,14) je zrychlení určeno jako funkce času t a tedy též času t odpovídající polohy bodu na trajektorii.

---

---