PĹĂmĂĄ aplikace KirchhoffovĂ˝ch zĂĄkonĹŻ je u sloĹžitÄjĹĄĂch sĂtĂ nadmĂru komplikovanĂĄ a vede na ĹeĹĄenĂ soustavy neĂşnosnÄ mnoha lineĂĄrnĂch rovnic pĹiÄemĹž nenĂ zajiĹĄtÄno, Ĺže soustava bude ĹeĹĄitelnĂĄ (rovnice mohou bĂ˝t lineĂĄrnÄ zĂĄvislĂŠ). Z tohoto dĹŻvodu se k ĹeĹĄenĂ pouĹžĂvajĂ dvÄ metody, kterĂŠ mnoĹžstvĂ rovnic vĂ˝raznÄ redukujĂ. Jsou zaloĹženy na takovĂŠ volbÄ proudĹŻ, resp. napÄtĂ, kterĂĄ a priori splĹuje prvnĂ, resp. druhĂ˝ KirchhoffĹŻv zĂĄkon. Rovnice pak pĂĹĄeme na zĂĄkladÄ "zbylĂŠho" zĂĄkona, tedy jen jednoho, a proto je poÄet rovnic vĂ˝raznÄ redukovĂĄn.
V tĂŠto metodÄ nevyznaÄujeme proudy v jednotlivĂ˝ch vÄtvĂch, ale proudy tzv. obvodovĂŠ (smyÄkovĂŠ), kterĂŠ jsou konstantnĂ podĂŠl vybranĂŠ uzavĹenĂŠ smyÄky. TĂm, Ĺže proudy vedou podĂŠl uzavĹenĂŠ smyÄky, musejĂ kaĹždĂ˝m uzlem sĂtÄ jen prochĂĄzet, tj. vtĂŠkat i vytĂŠkat. Proudy v jednotlivĂ˝ch vÄtvĂch sĂtÄ jsou pak dĂĄny jednoduchĂ˝m souÄtem nebo rozdĂlem (podle orientace) tÄch obvodovĂ˝ch proudĹŻ, kterĂŠ jsou danĂŠ vÄtvi spoleÄnĂŠ. PrvnĂ KirchhoffĹŻv zĂĄkon je tedy pro takto zvolenĂŠ obvodovĂŠ proudy splnÄn automaticky. JedinĂ˝m problĂŠmem v metodÄ obvodovĂ˝ch proudĹŻ je nalezenĂ "sprĂĄvnĂŠho" poÄtu tzv. nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek, pro kterĂŠ pĂĹĄeme rovnice druhĂŠho Kirchhoffova zĂĄkona. Pro urÄenĂ tohoto poÄtu existujĂ 3 metody:
- grafickĂĄ metoda; schema obvodu pĹekreslĂme do roviny tak, aby nedochĂĄzelo ke kĹĂĹženĂ spojovacĂch vodiÄĹŻ bez vodivĂŠho spojenĂ (tj. vodiÄe se mohou kĹĂĹžit jenom v uzlu). Pak poÄet nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek je dĂĄn poÄtem "okĂŠnek" v rovinÄ nĂĄkresu, kterĂĄ jsou ohraniÄena vÄtvemi sĂtÄ. Tato metoda je nejjednoduĹĄĹĄĂ a ve svĂŠ praxi s nĂ plnÄ vystaÄĂte.
- metoda ĂşplnĂŠho stromu; vztvoĹĂme tzv. ĂşplnĂ˝ strom, tj. podmnoĹžinu sĂtÄ s nĂĄsledujĂcĂmi vlastnostmi: (a) vĹĄechny uzly pĹŻvodnĂ sĂtÄ jsou propojeny vÄtvemi ĂşplnĂŠho stromu, (b) vlastnost (a) se ztrĂĄcĂ po vyjmutĂ libovolnĂŠ vÄtve ĂşplnĂŠho stromu. PoÄet vÄtvĂ, kterĂŠ musĂme k ĂşplnĂŠmu stromu dodat, abychom dostali pĹŻvodnĂ sĂĹĽ je pak roven poÄtu nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek.
- metoda vĂ˝poÄtu; vychĂĄzĂ z topologickĂ˝ch vlastnostĂ sĂtĂ. ZĂĄkladem tĂŠto metody je vztah, kterĂ˝ spojuje poÄet prvkĹŻ sĂtÄ, V, poÄet tzv. nezĂĄvislĂ˝ch uzlĹŻ, U, a poÄet nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek sĂtÄ, S. PoÄet nezĂĄvislĂ˝ch uzlĹŻ sĂtÄ dostaneme z celkovĂŠho poÄtu uzlĹŻ sĂtÄ odeÄetenĂm poÄtu ÄĂĄstĂ sĂtÄ, kterĂŠ jsou od sebe galvanicky oddÄleny (je-li celĂĄ sĂĹĽ galvanicky propojena, odeÄĂtĂĄme jedniÄku, obsahuje-li sĂĹĽ napĹ. jeden transformĂĄtor, kterĂ˝ galvanicky oddÄluje obvod primĂĄru od obvodu sekundĂĄru, odeÄĂtĂĄme dvojku apod.; pro kaĹždou galvanicky oddÄlenou ÄĂĄst sĂtÄ odeÄĂtĂĄme dalĹĄĂ jedniÄku). PlatĂ totiĹž zcela obecnÄ, Ĺže V=U+S.
UrÄenĂ poÄtu nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek je pro metodu obvodovĂ˝ch proudĹŻ zcela zĂĄkladnĂ, neboĹĽ v pĹĂpadÄ pĹeurÄenĂ tohoto poÄtu budou rovnice lineĂĄrnÄ zĂĄvislĂŠ, v pĹĂpadÄ podurÄenĂ mĹŻĹžeme dostat chybnĂ˝ vĂ˝sledek; snadno totiĹž mĹŻĹžeme "ĹĄikovnou" volbou menĹĄĂho poÄtu sloĹžitÄji vedenĂ˝ch smyÄek (volba smyÄek je zcela libovolnĂĄ, tj. výťe uvedenĂ˝mi metodami zjistĂme pouze jejich poÄet, nikoliv jejich "polohu" v sĂti) "projĂt" vĹĄechny vÄtve sĂtÄ, coĹž mĹŻĹže vĂŠst k mylnĂŠmu pĹesvÄdÄenĂ, Ĺže obvod je jiĹž urÄen. Metoda obvodovĂ˝ch proudĹŻ nemĂĄ v tomto smyslu korektiv; spoÄteme prostÄ systĂŠm mĂŠnÄ rovnic o mĂŠnÄ neznĂĄmĂ˝ch, ale vĂ˝sledek bude ĹĄpatnÄ, podurÄĂme-li poÄet nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek. PĹi psanĂ vlastnĂch rovnic mohu jen doporuÄit dĹŻslednĂŠ dodrĹžovĂĄnĂ znamĂŠnkovĂ˝ch konvencĂ, tj. pĹedem si oznaÄit smÄry proudĹŻ (libovolnÄ) a ĹĄipky u zdrojĹŻ a pak teprve psĂĄt rovnice. Jen tak se vyhnete znamĂŠnkovĂ˝m chybĂĄm, kterĂŠ mohou vĂŠst k nesmyslnĂ˝m vĂ˝sledkĹŻm. A jeĹĄtÄ jedna poznĂĄmka: prochĂĄzĂ-li smyÄkovĂ˝ proud zdrojem proudu, je pĹĂmo roven tomuto proudu. MĂĄme-li tedy obvod, kde se zdroj proudu vyskytuje, je vhodnĂŠ jeden ze smyÄkovĂ˝ch proudĹŻ (a jenom jeden) vĂŠst tĂmto zdrojem. Zredukujeme tak poÄet potĹebnĂ˝ch rovnic.
OznaÄĂme si napÄtĂ na jednotlivĂ˝ch uzlech sĂtÄ tak, Ĺže vĹĄechna napÄtĂ vztahneme k napÄtĂ na jednom referenÄnĂm uzlu, jehoĹž potenciĂĄl poloĹžĂme definitoricky rovnĂ˝ nule. MĂĄme-li sĂĹĽ, kterĂĄ obsahuje nÄkolik galvanicky oddÄlenĂ˝ch obvodĹŻ (transformĂĄtorem, optickĂ˝m vazebnĂm Älenem apod.), musĂme si vytyÄit referenÄnĂ uzel v kaĹždĂŠ galvanicky oddÄlenĂŠ ÄĂĄsti sĂtÄ. Takto stanovenĂĄ uzlovĂĄ napÄtĂ automaticky splĹujĂ druhĂ˝ KirchhoffĹŻv zĂĄkon a proto pro ĂşplnĂŠ urÄenĂ sĂtÄ staÄĂ napsat pro kaĹždĂ˝ uzel (kromÄ referenÄnĂch) KirchhoffĹŻv zĂĄkon o proudech v uzlu. Je-li nÄkterĂ˝ z uzlĹŻ pĹipojen k referenÄnĂmu uzlu zdrojem napÄtĂ, je napÄtĂ uzlu znĂĄmĂŠ a mĹŻĹžeme napsat o jednu rovnici mĂŠnÄ (duĂĄlnĂ obdoba smyÄkovĂŠho proudu prochĂĄzejĂcĂho zdrojem proudu). UrÄenĂ poÄtu nezĂĄvislĂ˝ch uzlĹŻ je velmi jednoduchĂŠ (viz výťe v diskusi o urÄovĂĄnĂ poÄtu nezĂĄvislĂ˝ch smyÄek) a tak se napsĂĄnĂ rovnic obejde bez vÄtĹĄĂch problĂŠmĹŻ. MusĂme si ale uvÄdomit, Ĺže ĹeĹĄenĂm rovnic dostaneme uzlovĂĄ napÄtĂ a z nich teprve musĂme urÄit proudy v jednotlivĂ˝ch vÄtvĂch jako napÄtĂ na vÄtvi dÄleno odporem vÄtve; to vĹĄak je jiĹž jen mechanickĂĄ prĂĄce.
Rozhodnout pĹedem, kterĂĄ metoda je vĂ˝hodnÄjĹĄĂ, nenĂ moĹžnĂŠ, neboĹĽ volba metody je zĂĄvislĂĄ na konkrĂŠtnĂ sĂti, kterou studujeme. Pokud mĂĄ sĂĹĽ mĂŠnÄ uzlĹŻ, kterĂŠ jsou propojeny vĂce vÄtvemi, je vĂ˝hodnÄjĹĄĂ metoda uzlovĂ˝ch napÄtĂ, ale pro jednoduchĂŠ pĹĂklady, kterĂŠ budeme v tomto textu ĹeĹĄit, budeme pouĹžĂvat metodu obvodovĂ˝ch proudĹŻ. DoporuÄuji ale, abyste si vyĹeĹĄili nÄkterĂŠ pĹĂklady sĂtĂ obÄma metodami, neboĹĽ jedinÄ tak zĂskĂĄte cit pro to, kolik ĂşsilĂ kterĂĄ metoda vyĹžaduje a hlavnÄ se pĹesvÄdÄĂte, Ĺže obÄ metody vedou k cĂli.
Uvedeme si nynĂ nÄkolik pomocnĂ˝ch metod, kterĂĄ mohou vĂŠst ke zjednoduĹĄenĂ studovanĂŠ sĂtÄ a tĂm k rychlejĹĄĂ cestÄ k cĂli.
- zĂĄmÄna hvÄzda-trojĂşhelnĂk
NÄkdy se pĹi ĹeĹĄenĂ sĂtĂ setkĂĄme s odporovĂ˝m trojpĂłlem tvaru hvÄzdy nebo trojĂşhelnĂka, viz. obr. 1.16a 1.16b.
Tyto trojpĂłly jsou navzĂĄjem zĂĄmÄnnĂŠ a mnohdy tĂm mĹŻĹžeme docĂlit zjednoduĹĄenĂ sĂtÄ. OznaÄĂme si vrcholy trojĂşhelnĂka a odpovĂdajĂcĂ vrcholy hvÄzdy pĂsmeny a, b, c. Odpory jednotlivĂ˝ch ramen hvÄzdy oznaÄĂme Ra, Rb, Rc podle pĹĂsluĹĄnosti ramene k vrcholu. ObdobnÄ oznaÄĂme odpory ramen trojĂşhelnĂka Rab, Rbc, Rac. PoÄĂtejme odpory mezi vrcholy a, b hvÄzdy. Tento odpor je roven Ra + Rb. U trojĂşhelnĂka je tento odpor roven paralelnĂ kombinaci odporu Rab s odporem danĂ˝m souÄtem Rac + Rbc. Vzhledem k tomu, Ĺže chceme nahradit hvÄzdu trojĂşhelnĂkem, pĹĂpadnÄ trojĂşhelnĂk hvÄzdou, musĂ se odpor mezi vrcholy a, b u hvÄzdy rovnat odporu mezi vrcholy a, b u trojĂşhelnĂka, ÄĂmĹž dostĂĄvĂĄme prvnĂ rovnici. ObdobnÄ pro vrcholy b, c a c, a dostaneme dalĹĄĂ dvÄ rovnice, kterĂŠ mĹŻĹžeme ĹeĹĄit buÄ pro neznĂĄmĂŠ Ra, Rb, Rc nebo pro neznĂĄmĂŠ Rab, Rac, Rbc. Dostaneme tyto vztahy:
Rab = (RaRb + RbRc + RcRa)/Rc
a analogickĂŠ dva, kterĂŠ se dajĂ popsat nĂĄsledovnÄ:Odpor strany trojĂşhelnĂka je roven souÄtu 3 moĹžnĂ˝ch souÄinĹŻ odporĹŻ vÄtvĂ hvÄzdy dÄlenĂŠmu odporem protilehlĂŠ strany hvÄzdy. Pro hvÄzdu dostaneme:
Ra = RabRca/(Rab + Rbc + Rca);
slovy: odpor vÄtve hvÄzdy je roven souÄinu odporĹŻ asociovanĂ˝ch vÄtvĂ trojĂşhelnĂka (vÄtvĂ, kterĂŠ majĂ spoleÄnĂ˝ stejnĂ˝ vrchol) dÄlenĂŠmu souÄtem odporĹŻ vĹĄech tĹĂ stran trojĂşhelnĂka. V anglickĂŠ literatuĹe se tato transformace nazĂ˝vĂĄ delta-Y substitution, je moĹžno hovoĹit takĂŠ o zĂĄmÄnÄ T a p ÄlĂĄnku (uĹžĂvĂĄ se v teorii filtrĹŻ).
- vÄta o reciprocitÄ
MÄjme lineĂĄrnĂ sĂĹĽ, ve kterĂŠ je jenom jeden zdroj napÄtĂ, ostatnĂ prvky jsou pasivnĂ; pĹedpoklĂĄdejme, Ĺže zdroj je zapojen v k-tĂŠ vÄtvi. Studujme nynĂ proud v l-tĂŠ vÄtvi sĂtÄ. VÄta o reciprocitÄ nĂĄm ĹĂkĂĄ, Ĺže stejnĂ˝ proud, jakĂ˝ vyvolĂĄ zdroj v l-tĂŠ vÄtvi, vyvolĂĄ tentýŞ zdroj v k-tĂŠ vÄtvi, zapojĂme-li ho do l-tĂŠ vÄtve (a svorky zdroje v k-tĂŠ vÄtvi spojĂme nakrĂĄtko). Tato vÄta se moc Äasto nehodĂ, je ale velice elegantnĂ a pĹedpoklĂĄdĂĄ se, Ĺže ÄlovÄk s fyzikĂĄlnĂm vysokoĹĄkolskĂ˝m vzdÄlĂĄnĂm by ji mÄl znĂĄt.
- propojovacĂ pravidlo
MÄjme symetrickou sĂĹĽ, z jejĂhoĹž schematu je na prvnĂ pohled evidentnĂ, Ĺže v nĂ existuje alespoĹ jedna dvojice uzlĹŻ, kterĂŠ jsou na stejnĂŠm potenciĂĄlu. Pak se pomÄry v sĂti nezmÄnĂ, propojĂme-li tyto dva uzly zkratem. Toto pravidlo obÄas pomĂĄhĂĄ ĹeĹĄit symetrickĂŠ obvody jako "urÄete odpor mezi vrcholy leĹžĂcĂ na stÄnovĂŠ (tÄlesovĂŠ) ĂşhlopĹĂÄce krychle jejĂĹž hrany jsou tvoĹeny rezistory o odporech r."
- vÄta o pĹizpĹŻsobenĂ
MaximĂĄlnĂ vĂ˝kon, kterĂ˝ je zdroj o vntĹnĂm odporu Ri schopen dodat do zĂĄtÄĹže s odporem R, nastĂĄvĂĄ pro R=Ri. V pĹĂpadÄ, Ĺže obÄ veliÄiny jsou komplexnĂ, nastĂĄvĂĄ maximĂĄlnĂ vĂ˝kon (optimĂĄlnĂ pĹizpĹŻsobenĂ) tehdy, jsou-li reĂĄlnĂŠ sloĹžky sobÄ rovnĂŠ a imaginĂĄrnĂ sloĹžky majĂ opaÄnĂŠ znamĂŠnko.
Zrekapitulovali jsme si zĂĄkladnĂ pojmy z teorie lineĂĄrnĂch sĂtĂ. Pojmy, kterĂŠ jsme zavedli, i nÄkterĂŠ ze zmĂnÄnĂ˝ch metod budeme pouĹžĂvat v dalĹĄĂm vĂ˝kladu. DoporuÄuji, abyste si svĂŠ praktickĂŠ dovednosti v ĹeĹĄenĂ problĂŠmĹŻ z elektrickĂ˝ch obvodĹŻ sami z vlastnĂ iniciativy provÄĹili, sbĂrek Ăşloh je velmi mnoho, na MFF napsanĂĄ vĂ˝bornĂĄ sbĂrka Ăşloh z obvodĹŻ je v rĂĄmci skript "SbĂrka Ăşloh z elektĹiny a magnetismu", autoĹi D. SlavĂnskĂĄ a kolektiv. Pro vaĹĄi ĹĄkolnĂ praxi bude i vhodnĂŠ, budete-li si shromaĹžÄovat pĹĂklady z fyziky k pĹijĂmacĂm zkouĹĄkĂĄm na MFF, ty lze dostat na studijnĂm oddÄlenĂ a vĹždy je v nich nÄkolik zajĂmavĂ˝ch Ăşloh z elektĹiny, ev. z obvodĹŻ. Pro zajĂmavost: jakĂ˝ je vnitĹnĂ odpor dÄliÄe napÄtĂ sloĹženĂŠho z odporĹŻ R1 a  R2, je-li pĹipojen na zdroj napÄtĂ E (vĂ˝stup dÄliÄe je na odporu R2)?