Homogenní vedení jest vedení se spojitě rozloženými
parametry: na délkovou jednotku má odpor R, indukčnost L, kapacitu C a svod G.
Příčný rozměr jest zanedbatelně malý vzhledem k vlnové délce příslušné
frekvence budícího signálu, avšak délkový rozměr vlnovou délku převyšuje, nebo
jest s ní srovnatelný. Prakticky je homogenní vedení provedeno buď jako
dvoulinka, nebo koaxiální kabel. Aplikujeme-li na úsek homogenního vedení délky
(viz obr. D1.1)
Kirchhoffovy zákony, dostaneme
Obr. D1.1 Homogenní vedení
Provedením limitního přechodu pro
dostaneme tzv.
telegrafní rovnice.
(D1)
(D2)
Jde-li o
ustálené stavy ve vedení buzeném sinusovým signálem použijeme běžné symbolické
metody, avšak amplitudu považujeme za funkci souřadnice x:
(nebo
), takže (D1) a (D2) přejdou v rovnice pro symboly napětí a
proudu:
(D3)
(D4)
jejichž řešením jest
(D5)
(D6)
kde
a
Dostaneme
tedy obecně tlumené vlny, které se šíří po vedení. V případě bezeztrátového
vedení (idealizace) R = 0, G = 0 jest
imaginární a vlny
jsou netlumené, veličina
jest reálná (vlnový
odpor). Konstanty A, B jsou obecně závislé na délce vedení a impedanci
připojené na konci vedení. Určete si konstanty A, B
pro případ vedení délky l zakončeného impedancí
Z, přiložené napětí pro x = 0
budiž U0. Dále musí platit
U (l) = ZJ (l).
Dostanete: A = U0
Rovnice (D5), (D6) se dají pak upravit na výhodný tvar:
(D7)
(D8)
Probereme si některé význačné případy. Pro větší přehlednost výsledků budeme uvažovat bezeztrátové vedení, tj. :
jest imaginární a
vlny jsou netlumené, vlnový odpor (charakteristická impedance) jest reálný
.
1. případ:
vedení jest zakončeno charakteristickou
impedancí, takže
. Rovnice (D7) a (D8) se upraví na
a odtud pro skutečné hodnoty napětí u(x,t) a proud i(t,x)
Vedením se tedy šíří běžící vlna rychlostí
, energie dodaná vnějším zdrojem se pohltí v zátěži.
Nenastane odraz vln na konci vedení.
Zjistěte
si, jak se tento výsledek změní, bude-li vedení ztrátové, tj.
. Bez počítání lze říci, že odraz opět nenastane, avšak
energie dodávaná zdrojem se částečně pohltí ve vedení, částečně v zátěži.
2. případ:
vedení jest na konci zkratováno, tj. položíme Z = 0. Z rovnic (D7), (D8) dostaneme nyní
a odtud pro skutečné hodnoty u(x,t) a i(t,x)
,
což jsou stojaté vlny napětí a proudu. V souladu s fyzikální skutečností má napětí na konci zkratovaného vedení ( x = l ) uzel a proud kmitnu. Můžeme si představiti, že tyto stojaté vlny vznikly superpozicí vlny přímé a odražené. Pro vedení ztrátové se můžete přesvědčit výpočtem, že tlumená vlna se rozdělí na přímou a odraženou.
3. případ:
vedení jest na konci otevřené, tj.
a z rovnic (D7), (D8) plyne
a dostáváme tedy opět stojaté vlny napětí a proudu
Prakticky
jest často důležité znát vstupní impedanci homogenního vedení, danou poměrem
.
Z rovnic (D7), (D8) dostaneme obecně
Uvědomíme si, že při zatížení vlnovým odporem jest vstupní
impedance
. Odvoďte výrazy pro Z0 při zkratovaném a
otevřeném homogenním vedení délky l (bezeztrátovém) a snažte se pochopit fyzikální a praktický
význam.
V literatuře se setkáváme též se symbolickým reflexním koeficientem, který vyjadřuje poměr symbolů napětí (proudu) odražené vlny ku přímé vlně.
Vyjádříme si řešení telegrafních rovnic pro symboly napětí a proudu takto:
Jestliže označíme U(0) = U0, J(0) = J0 dostaneme
Vlna se záporným exponentem je přímá, vlna s kladným je odražená. (To se dá snadno nahlédnout, přejdeme-li od symbolů ke skutečným hodnotám. ) Na konci vedení délky l jest reflexní koeficient dán výrazem
takže
(D10)