Základní vlastnosti dutinových rezonátorů obecného tvaru.
Charakteristické frekvence. Činitel jakosti.

Dutinové resonátory mají v oblasti mikrovln a kratších (optických) podobnou funkci jako resonanční obvody v radiofrekvenčním oboru. 

	Nyní se budeme zabývat podrobněji vlastnostmi dutinových resonátorů. Nejprve budeme zkoumat elektromagnetické pole v ideálním dutinovém resonátoru, což je dutina vyplněná vakuem (nebo bezeztrátovým dielektrikem) zcela uzavřená ideálně vodivými stěnami libovolného tvaru, objemu V a plochy P, (obr. 4.1.1). Platí:             (4.1.1)          (4.1.2)                  (4.1.3)
Obr. 4.1.1  Ideální dutinový resonátor

Zajímá nás otázka, jaké elektromagnetické pole uvnitř dutiny V může existovat. Aplikujeme tedy na rovnici (4.1.2) operaci rot a máme

          (4.1.4)

Řešení budeme psát ve tvaru

, takže z (4.1.4) dostaneme

Vzhledem k tomu, že pravá strana nezávisí na čase musí být

. 

Označíme  a dostaneme

          (4.1.5)

Z rovnice (4.1.5) vyjádříme  , čímž získáme jednak obecný vzorec, který určuje charakteristickou frekvenci pomocí prostorové struktury pole v dutině, a také dokážeme, že  je pozitivní (existují kmity). Postupujeme následujícím způsobem:

rovnici (4.1.5) násobíme  zleva a integrujeme přes objem resonátoru:

Použitím vzorce

a s přihlédnutím k tomu, že

máme

Avšak

Z okrajových podmínek vyplývá, že vektory  a  jsou na stěnách rovnoběžné, takže integrál přes plochu P je nulový a pro ideální resonátor dostaneme

          (4.1.6)

Tím jsme dostali výraz pro  (a tedy také pro ), který je kladný. To znamená, že existují netlumené kmity na charakteristických frekvencích  :

Dále se dá snadno dokázat, že střední hodnoty energie elektrického a magnetického pole

jsou stejné =

Při konečné vodivosti stěn jsou volné kmity v resonátoru provázeny ztrátami energie. I když neuvažujeme dielektrické ztráty a ztráty vyzařováním v reálném resonátoru. Jsou-li stěny ztrátové, neplatí již (4.1.3). Z toho plyne, že vektory  a  nejsou rovnoběžné a pro dostaneme po jednoduchých úpravách

kde  označujeme nyní výraz (4.1.6) pro ideální resonátor.

Dosazením za

dostaneme

Dále použitím vztahů známých z výpočtu útlumu v reálném vlnovodu

kde  je permeabilita vodivé stěny, a použitím hloubky skinu

dostaneme

Vzhledem k tomu, že  , poměr integrálů  a že  můžeme reálnou část druhého členu v kroucené závorce zanedbat vedle jedné. Potom

          (4.1.7)

Zcela analogicky můžeme psát pro  :

kde

          (4.1.8)

je činitel jakosti.

Vzorec (4.1.8) umožňuje jeho výpočet, je-li známa struktura magnetického pole uvnitř ideálního rezonátoru. Přesvědčíme se snadno, že Q podle (4.1.8) je zobecněním pojmu činitele jakosti u LRC obvodu.

Zde máme:

U paralelního LRC obvodu je útlumový faktor . Dosadíme-li podle definice , dostaneme analogický výsledek .

Poznámka: můžeme činitele jakosti  vyjádřit bez použití analogie s LRC obvodem. Zjistili jsme, že amplituda elektrického nebo magnetického pole klesá jako , takže příslušná energie bude klesat jako  .

odkud úbytek energie za jednotku času

   a     

Zatímco výpočet  podle (4.1.8) je pro geometricky složitější dutiny obtížný, lze snadno odhadnout řádovou velikost činitele jakosti, neboť

Příklad: pro cm a cm   je  .

hlavní stránka