Dutinové resonátory mají v oblasti mikrovln a kratších (optických) podobnou funkci jako resonanční obvody v radiofrekvenčním oboru.
![]() |
Nyní se budeme zabývat podrobněji vlastnostmi dutinových resonátorů. Nejprve budeme zkoumat elektromagnetické pole v ideálním dutinovém resonátoru, což je dutina vyplněná vakuem (nebo bezeztrátovým dielektrikem) zcela uzavřená ideálně vodivými stěnami libovolného tvaru, objemu V a plochy P, (obr. 4.1.1). Platí:
|
Obr. 4.1.1 Ideální dutinový resonátor |
Zajímá nás otázka, jaké elektromagnetické pole uvnitř dutiny V může existovat. Aplikujeme tedy na rovnici (4.1.2) operaci rot a máme
(4.1.4)
Řešení budeme psát ve tvaru
, takže z (4.1.4) dostaneme
Vzhledem k tomu, že pravá strana nezávisí na čase musí být
.
Označíme
a
dostaneme
(4.1.5)
Z rovnice (4.1.5) vyjádříme
, čímž získáme jednak
obecný vzorec, který určuje charakteristickou frekvenci pomocí prostorové
struktury pole v dutině, a také dokážeme, že
je
pozitivní
(existují kmity). Postupujeme následujícím způsobem:
rovnici (4.1.5) násobíme
zleva a integrujeme
přes objem resonátoru:
Použitím vzorce
a s přihlédnutím k tomu, že
máme
Avšak
Z okrajových podmínek vyplývá, že vektory
a
jsou na stěnách
rovnoběžné, takže integrál přes plochu P je nulový a pro
ideální resonátor dostaneme
(4.1.6)
Tím jsme dostali výraz pro
(a tedy také pro
), který
je kladný. To znamená, že existují netlumené kmity
na charakteristických frekvencích
:
Dále se dá snadno dokázat, že střední hodnoty energie elektrického a magnetického pole
jsou stejné
=
Při konečné vodivosti stěn jsou volné kmity v resonátoru
provázeny ztrátami energie. I když neuvažujeme dielektrické ztráty a ztráty
vyzařováním v reálném resonátoru. Jsou-li stěny ztrátové, neplatí již
(4.1.3). Z
toho plyne, že vektory
a
nejsou rovnoběžné a
pro
dostaneme po jednoduchých úpravách
kde
označujeme nyní výraz
(4.1.6) pro ideální resonátor.
Dosazením za
dostaneme
Dále použitím vztahů známých z výpočtu útlumu v reálném vlnovodu
kde
je permeabilita
vodivé stěny, a použitím hloubky skinu
dostaneme
Vzhledem k tomu, že
, poměr integrálů
a že
můžeme reálnou část
druhého členu v kroucené závorce zanedbat vedle jedné. Potom
(4.1.7)
Zcela analogicky můžeme psát pro
:
kde
je činitel jakosti.
Vzorec (4.1.8) umožňuje jeho výpočet, je-li známa struktura magnetického pole uvnitř ideálního rezonátoru. Přesvědčíme se snadno, že Q podle (4.1.8) je zobecněním pojmu činitele jakosti u LRC obvodu.
Zde máme:
U paralelního LRC obvodu je útlumový faktor
. Dosadíme-li podle
definice
, dostaneme analogický výsledek
.
Poznámka: můžeme činitele jakosti vyjádřit bez použití analogie s LRC obvodem. Zjistili jsme, že amplituda
elektrického nebo magnetického pole klesá jako
, takže příslušná energie bude
klesat jako
.
odkud úbytek energie za jednotku času
a
Zatímco výpočet podle
(4.1.8) je pro
geometricky složitější dutiny obtížný, lze snadno odhadnout řádovou velikost
činitele jakosti, neboť
Příklad: pro
cm a
cm je
.