3. Zákony elektrických obvodů (sítí)

Princip superpozice	Kirchhoffovy zákony
Théveninova věta (věta o ekvivalentním generátoru)	Věta o ekvivalenci reálného zdroje napětí a reálného zdroje proudu

Tento odstavec obsahuje prakticky pouze opakování, takže se omezíme jen na strohé formulace faktů. Abychom rozlišili obvod jako základní součást od významu obvod = zadaný obvod, budeme, pokud to bude třeba, v dalším užívat pro zadaný obvod názvu síť (anglicky network). Nejprve definujme názvosloví:

- nelineárním prvkem nazýváme dvojpól, který se nedá reprezentovat (složit) ze základních pasivních a aktivních prvků. Závislost napětí na nelineárním prvku je obecnou nelineární funkcí procházejícího proudu u=F(i). Příkladem nelineárních prvků je polovodičová dioda, cívka s feromagnetickým jádrem, žárovka, termistor apod.

- součástí (prvkem) sítě míníme následující:rezistor, cívku, kondenzátor, ideální zdroj napětí, ideální zdroj proudu, nelineární prvek. Spojovací vodiče neuvažujeme jako prvky elektrického obvodu, pokud můžeme předpokládat, že na nich nevzniká žádný spád napětí (jsou jen součástí schematu elektrického obvodu, ale nijak nevcházejí do výpočtů); jinak nahradíme spojovací vodiče vhodnou reprezentací složenou ze základních prvků.

- uzel je bod v síti, kde se stýkají nejméně dva prvky.

- větev je část sítě mezi dvěma sousedními uzly, kde se stýkají nejméně tři prvky. Je charakterizována tím, že všemi prvky v jedné větvi protéká stejný proud (prvky mohou být ve větvi zapojeny do serie, ale ve větvi může být také jenom jeden prvek).

- uzavřený obvod (smyčka) je myšlená dráha v síti, která začíná a končí v témže uzlu a je zkonstruována tak, že každou větví procházíme jen jedním směrem.

- síť nazýváme lineární, pakliže je její odezva lineární, tj. způsobí-li příčina x₁(t) (například změna napětí zdroje, změna odporu rezistoru apod.) následek y₁(t) a příčina x₂(t) následek y₂(t), pak příčina Ax₁(t)+Bx₂(t) (A,B jsou konstanty) způsobí následek Ay₁(t)+By₂(t). Jinými slovy síť je lineární, jestliže neobsahuje nelineární prvky, tj. jestliže velikosti odporů, kapacit a indukčností prvků v síti použitých nezávisejí na proudu prvkem nebo napětí na prvku. Síť obsahující nelineární prvky můžeme linearizovat, jestliže se omezíme na takový rozsah proudů a napětí na nelineárních prvcích, ve kterém můžeme s dostatečnou přesností použít aproximace nelineárních prvků pomocí základních pasivních a aktivních prvků (tzv. náhradní zapojení). Například polovodičová dioda je typickým příkladem nelineárního prvku, má exponenciální voltampérovou charakteristiku, která pro vyšší proudy v propustném směru přechází na lineární závislost (uplatňuje se stejnosměrný odpor diody). Pro použití v usměrňovačích, kdy dioda pracuje v propustném směru většinu času v režimu vyšších proudů (v závěrném směru je možno považovat s velmi dobrou přesností proud diodou za nulový), můžeme polovodičovou diodu nahradit seriovou kombinací zdroje napětí reprezentujícího úbytek napětí na diodě a odporu, který získáme ze směrnice přímky, kterou diodovou charakteristiku aproximujeme. Tento náhradní obvod již bude lineární a bude na něj možné použít metody analýzy obvodů, které si dále popíšeme. Obdobná linearizace se dá s dostatečnou přesností provést prakticky ve všech případech, kdy je do obvodu zapojen nelineární prvek, a proto se v tomto textu budeme zabývat pouze lineárními sítěmi.

3.1. Princip superpozice

Princip superpozice vyplývá z definice lineární sítě. Mějme lineární síť ve které máme zapojeno n zdrojů (napětí nebo proudu; již jste si jistě všimli, že používáme názvů zdroj napětí, rezistor, cívka apod. bez přívlastku "ideální"; je to proto, že reálné prvky budeme hned nahrazovat jejich náhradním zapojením složeným z ideálních prvků; žádné jiné než ideální prvky se proto v našich zapojeních nebudou vyskytovat). Studujme odezvu těchto zdrojů ve větvi s indexem k, tj. hledejme proud I_k. Princip superpozice nám říká, že tuto odezvu můžeme najít tak, že najdeme proudy od jednotlivých zdrojů s indexem i (i jde od 1 do n), tj. I_ki tak, že ponecháme v síti jen zdroj s indexem i a ostatní nahradíme jejich vnitřními odpory (tj. kde je zdroj napětí zkratem, kde je zdroj proudu, necháme obvod rozpojen) a příspěvky I_ki sečteme,

tj.    I_k = I_k1 + I_k2 + I_k3 + … + I_kn.

Princip superpozice nám pomáhá, jsou-li v obvodu zapojeny dva zdroje o různých kmitočtech, např. jeden je stejnosměrný, druhý střídavý.

3.2. Kirchhoffovy zákony

První Kirchhoffův zákon:

Součet všech proudů tekoucích do uzlu sítě se v každém okamžiku rovná nule (proudy tekoucí do uzlu bereme se záporným znaménkem, proudy tekoucí z uzlu s kladným znaménkem). Zákon je obvodovým vyjádřením rovnice kontinuity, tj. zákona zachování náboje.

Druhý Kirchhoffův zákon:

Součet všech napětí na prvcích (aktivních i pasivních) podél uzavřeného obvodu (smyčky) je v každém okamžiku roven nule. Zákon je obvodovým vyjádřením faktu, že elektrické pole je konzervativní, tj. že práce podél uzavřené dráhy se rovná nule.

3.3. Théveninova věta (věta o ekvivalentním generátoru)

Lineární dvojpól lze vždy nahradit jedním zdrojem napětí a jedním rezistorem v serii. Napětí ekvivalentního zdroje je rovné napětí na nezatížených svorkách dvojpólu, odpor ekvivalentního rezistoru je roven odporu mezi svorkami dvojpólu, když všechny zdroje uvnitř dvojpólu nahradíme jejich vnitřními odpory. Théveninovu větu můžeme s výhodou použít, když se ve studované síti zajímáme jen o stav jedné, nebo několika málo větví; pak postupným zjednodušováním sítě podle Théveninovy věty dojdeme k výsledku většinou rychleji a elegantněji než použitím Kirchhoffových zákonů.

Duální analogií Théveninovy věty je Nortonova věta, která hovoří o ekvivalenci lineárního dvojpólu paralelní kombinaci zdroje proudu a rezistoru (vodivosti). Z těchto dvou vět pak plyne

3.4. Věta o ekvivalenci reálného zdroje napětí a reálného zdroje proudu

Zdroj napětí E s vnitřním odporem R_i je na svých svorkách ekvivalentní zdroji proudu s velikostí E/R_i s paralelně zapojenou vodivostí o velikosti 1/R_i. Nakreslete si schemata a zamyslete se nad orientací šipky ukazující směr proudu ve zdroji proudu.

Základy analýzy elektrických obvodů