UFY007
8. Kvazistacionární obvod - přechodové
jevy
(*)
po
derivaci podle času dostaneme diferenciální rovnice 2. stupně
pro
proud I(t)
. (**)
Vynásobením
rovnice (*) proudem I(t) získáme rovnoci pro okamžitý výkon
první
člen na levé straně označuje Jouleův výkon, první člen na pravé straně je
okažitý příkon dodávaný zdrojem elektromotorického napětí E(t). Po úpravě
(***)
je
zřejmé, že druhý člen na levé straně představuje časovou změnu energie
elektrického pole uvnitř kondenzátoru a třetí člen časovou derivace magnetické
energie vytvořenou proudem ve vodičích obvodu.
. E
je konstantní
R
, při
t = 0 je Q(0) = 0
E
Z rovnice (*) pro t = 0 dostaneme
C
, řešení má tedy tvar
. Proud exponenciálně klesá od hodnoty E/R do nuly s časovou konstantou .
Pro
napětí UC na
kondenzátoru z rovnice (*) plyne
a
tedy .
Pro UC
= E, I = 0. Kondenzátor je nabit na elektromotorické napětí
zdroje a proud obvodem neteče.
Z rovnice
(*) dostaneme
R
nehomogenní
diferenciální rovnici 1. stupně
E L .
Okrajové
podmínky: pro ustálený proud ,
pro
t = 0 proud neteče I(0) = 0.
V obecném
řešení určíme konstanty C a K
je
a .
Proud
tedy exponenciálně roste od nuly do hodnoty
.
Při
rozepnutí obvodu vzniká v cívce napětí indukované prudkým poklesem proudu
,
které
může překročit průrazné napětí izolace vinutí cívky. Dojde zpravidla ke vzniku
oblouku mezi kontakty přerušovače a tím se zastaví nárůst napětí. Odpor
výbojové dráhy je R´>>R, vede k řešení .
V okamžiku
rozepnutí přerušovače t = 0 je I(0) = E/R
,
a
tedy , protože R´>>R.
Dostáváme
řešení pro proud
,
napětí
na cívce při vypnutí proudu nabývá hodnoty
větší
než napětí zdroje.
V obvodu
bez připojeného zdroje elektromotorického napětí se nachází kondenzátor, který
je nabit na napětí UC0. Při sepnutí spínače začne obvodem protíkat
proud a kondenzátor se bude vybíjet. E = 0
R C L
Homogenní
diferenciální rovnice 2. řádu
UC0 má
řešení ve tvaru
,
kde
λ1 a λ2
jsou kořeny charakteristické rovnice
.
, diskriminant .
Aperiodické
řešení dostaneme pro, tedy .
Označme
činitel útlumu a rezonanční frekvenci a nalezněme
řešení pro periodický stav
pro D < 0.
Úhlová
frekvence .
Kořeny
charakteristické rovnice jsou tedy
a
řešení, které představuje tlumené periodické kmity proudu, můžeme po úpravě
zapsat ve tvaru
.
Proud
v obvodu je periodickou funkcí času s kruhovou frekvencí ω,
s amplitudou klesající exponenciálně s časovou konstantou .