UFY007

8.  Kvazistacionární obvod - přechodové jevy

 

 

Ohmův zákon pro kvazistacionární obvod

                   (*)

po derivaci podle času dostaneme diferenciální rovnice 2. stupně

pro proud I(t)

.                      (**)

Vynásobením rovnice (*) proudem I(t) získáme rovnoci pro okamžitý výkon

první člen na levé straně označuje Jouleův výkon, první člen na pravé straně je okažitý příkon dodávaný zdrojem elektromotorického napětí E(t).  Po úpravě

              (***)

je zřejmé, že druhý člen na levé straně představuje časovou změnu energie elektrického pole uvnitř kondenzátoru a třetí člen časovou derivace magnetické energie vytvořenou proudem ve vodičích obvodu.

 

Obvod R,C

V obvodu je zapojen v sérii rezistor a kondenzátor, rovnice (**) pro L = 0 je

 

                                                                              .                     E je konstantní

                                                           Řešením diferenciální rovnice je

              R                                           ,           při t = 0 je Q(0) = 0

       E                                                   Z rovnice (*) pro t = 0 dostaneme

                           C                              , řešení má tedy tvar

                                                            . Proud exponenciálně klesá od hodnoty E/R do nuly s časovou konstantou .

Pro napětí  UC na kondenzátoru z rovnice (*) plyne                              

a tedy              .    Pro       UC = E,   I = 0. Kondenzátor je nabit na elektromotorické napětí zdroje a proud obvodem neteče.

 

 

 

 

Obvod R,L

 

                                               Z rovnice (*) dostaneme

 

             R                               

                                               nehomogenní diferenciální rovnici 1. stupně

          E              L                  .

                                               Okrajové podmínky: pro  ustálený proud ,

                                                pro t = 0 proud neteče I(0) = 0.

                                               V obecném řešení určíme konstanty C a K

                                                      je  a .

Proud tedy exponenciálně roste od nuly do hodnoty

                                               .

Při rozepnutí obvodu vzniká v cívce napětí indukované prudkým poklesem proudu

,

které může překročit průrazné napětí izolace vinutí cívky. Dojde zpravidla ke vzniku oblouku mezi kontakty přerušovače a tím se zastaví nárůst napětí. Odpor výbojové dráhy je R´>>R, vede k řešení                                       .

V okamžiku rozepnutí přerušovače t = 0 je I(0) = E/R ,

                           a  tedy            , protože R´>>R.

Dostáváme řešení pro proud

                        ,

napětí na cívce při vypnutí proudu nabývá hodnoty

                       

větší než napětí zdroje.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obvod R, L, C

 

V obvodu bez připojeného zdroje elektromotorického napětí se nachází kondenzátor, který je nabit na napětí UC0. Při sepnutí spínače začne obvodem protíkat proud a kondenzátor se bude vybíjet.            E = 0

                                                                                 

                                                                                 

                                                                                 

                          R               C             L                    

                                                                     

                                                                                  Homogenní diferenciální rovnice 2. řádu

                                         UC0                                               má řešení ve tvaru

 

                        ,

kde λ1 a   λ2 jsou kořeny charakteristické rovnice

.

, diskriminant  .

Aperiodické řešení dostaneme pro, tedy  .

Označme činitel útlumu a rezonanční frekvenci  a nalezněme řešení pro periodický stav   pro D < 0.

Úhlová frekvence .

Kořeny charakteristické rovnice jsou tedy

                                                                      

a řešení, které představuje tlumené periodické kmity proudu, můžeme po úpravě zapsat ve tvaru

.

Proud v obvodu je periodickou funkcí času s kruhovou frekvencí ω, s amplitudou klesající exponenciálně s časovou konstantou .