import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

počáteční rychlost a výška

v0=5
y0=10
g=9.81373 #tíhové zrychlení

pole časů (zatím nevíme jak dlouho bude trvat než míč dopadne na zem, taže neznáme velikost pole)

t=np.array([0])
dt=0.0001

trakjektorie míče je
$x(t) = v_0 t$
$y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+y_0$

počáteční podmínky
$x(t=0)=0$
$y(t=0)=y_0$
$\dot{x}(t=0)=v_0$
$\dot{y}(t=0)=0$

x=np.array([0])
y=np.array([y0])

Budeme počítat trajektorii dokud míč nespadne na zem, tj. dokud je $y\ge 0$.
Vypočítáme dráhu jako $s = \sum_i^n \frac{v(t_i)+v(t_{i+1})}{2}\,dt$, kde $v$ je velikost rychlosti v čase $t$.

#počáteční podmínky
i=0
s=0 #dráha
#teď výpočet trajektorie
while y[i]>=0:  #cyklus běží dokud míč nedopadne
   t=np.append(t,t[i]+dt) 
   x=np.append(x,v0*t[i]) 
   y=np.append(y,-g*t[i]**2/2 +y0)
   v=(np.sqrt(v0**2+(g*t[i])**2)+np.sqrt(v0**2+(g*(t[i]+dt))**2))/2 #průměrná velikost rychlosti 
   s+=v*dt
   i+=1 

vykreslení trajektorie

fig,ax=plt.subplots()
ax.plot(x,y)
ax.set_xlim(0,)
ax.set_ylim(0,)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("y")
plt.show()

print(f"Míč dopadne ve vzdálenosti {np.max(x):6.3f} m od počátku za dobu {np.max(t):6.3f} s")
print(f"Uražená dráha je {s:6.3f} m.")

Míč dopadne ve vzdálenosti  7.138 m od počátku za dobu  1.428 s
Uražená dráha je 12.854 m.