Homogenní vedení


Homogenní vedení jest vedení se spojitě rozloženými parametry: na délkovou jednotku má odpor R, indukčnost L, kapacitu C a svod G. Příčný rozměr jest zanedbatelně malý vzhledem k vlnové délce příslušné frekvence budícího signálu, avšak délkový rozměr vlnovou délku převyšuje, nebo jest s ní srovnatelný. Prakticky je homogenní vedení provedeno buď jako dvoulinka, nebo koaxiální kabel. Aplikujeme-li na úsek homogenního vedení délky images/10_1/image002.gif (viz obr. D1.1) Kirchhoffovy zákony, dostaneme

images/10_1/image004.gif

 

images/d11.gif

Obr. D1.1  Homogenní vedení

Provedením limitního přechodu pro images/10_1/image006.gif dostaneme tzv. telegrafní rovnice.

images/10_1/image008.gif            (D1)

images/10_1/image009.gif          (D2)

 Jde-li o ustálené stavy ve vedení buzeném sinusovým signálem použijeme běžné symbolické metody, avšak amplitudu považujeme za funkci souřadnice x: images/10_1/image010.gif (nebo images/10_1/image012.gif), takže (D1) a (D2) přejdou v rovnice pro symboly napětí a proudu:

images/10_1/image014.gif          (D3)

images/10_1/image015.gif          (D4)

jejichž řešením jest

 

images/10_1/image016.gif                  (D5)

images/10_1/image017.gif          (D6)

kde

images/10_1/image018.gif

a

images/10_1/image020.gif              (charakteristická impedance)

 Dostaneme tedy obecně tlumené vlny, které se šíří po vedení. V případě bezeztrátového vedení (idealizace) = 0, G = 0 jest images/10_1/image024.gif imaginární a vlny jsou netlumené, veličina images/10_1/image026.gif jest reálná (vlnový odpor). Konstanty A, B jsou obecně závislé na délce vedení a impedanci připojené na konci vedení. Určete si konstanty A, B pro případ vedení délky l zakončeného impedancí Z, přiložené napětí pro x = 0 budiž U0. Dále musí platit (l) = ZJ (l).

Dostanete: A = U0 

 

images/10_1/image040.gif

Rovnice (D5), (D6) se dají pak upravit na výhodný tvar:

images/10_1/image042.gif          (D7)

images/10_1/image043.gif          (D8)

Probereme si některé význačné případy. Pro větší přehlednost výsledků budeme uvažovat bezeztrátové vedení, tj. :

images/10_1/image044.gif jest imaginární a vlny jsou netlumené, vlnový odpor (charakteristická impedance) jest reálný images/10_1/image046.gif .

 

1. případ:

vedení jest zakončeno charakteristickou impedancí, takže images/10_1/image048.gif. Rovnice (D7) a (D8) se upraví na

images/10_1/image050.gif

a odtud pro skutečné hodnoty napětí u(x,t) a proud i(t,x)

images/10_1/image056.gif

Vedením se tedy šíří běžící vlna rychlostí images/10_1/image058.gif, energie dodaná vnějším zdrojem se pohltí v zátěži. Nenastane odraz vln na konci vedení.

 Zjistěte si, jak se tento výsledek změní, bude-li vedení ztrátové, tj. images/10_1/image060.gif. Bez počítání lze říci, že odraz opět nenastane, avšak energie dodávaná zdrojem se částečně pohltí ve vedení, částečně v zátěži.

 

2. případ:

vedení jest na konci zkratováno, tj. položíme = 0. Z rovnic (D7), (D8) dostaneme nyní

images/10_1/image064.gif

a odtud pro skutečné hodnoty u(x,t) a  i(t,x)

images/10_1/image068.gif    ,

což jsou stojaté vlny napětí a proudu. V souladu s fyzikální skutečností má napětí na konci zkratovaného vedení ( x = l ) uzel a proud kmitnu. Můžeme si představiti, že tyto stojaté vlny vznikly superpozicí vlny přímé a odražené. Pro vedení ztrátové se můžete přesvědčit výpočtem, že tlumená vlna se rozdělí na přímou a odraženou.

 

3. případ:

vedení jest na konci otevřené, tj. images/10_1/image072.gifa z rovnic (D7), (D8) plyne

images/10_1/image074.gif

a dostáváme tedy opět stojaté vlny napětí a proudu

images/10_1/image076.gif

 Prakticky jest často důležité znát vstupní impedanci homogenního vedení, danou poměrem images/10_1/image078.gif.

Z rovnic (D7), (D8) dostaneme obecně

images/10_1/image080.gif         (D9)

Uvědomíme si, že při zatížení vlnovým odporem jest vstupní impedance images/10_1/image081.gif . Odvoďte výrazy pro Z0 při zkratovaném a otevřeném homogenním vedení délky l (bezeztrátovém) a snažte se pochopit fyzikální a praktický význam.

 V literatuře se setkáváme též se symbolickým reflexním koeficientem, který vyjadřuje poměr symbolů napětí (proudu) odražené vlny ku přímé vlně.

 Vyjádříme si řešení telegrafních rovnic pro symboly napětí a proudu takto:

images/10_1/image086.gif

Jestliže označíme U(0) = U0, J(0) = J0  dostaneme

images/10_1/image090.gif

Vlna se záporným exponentem je přímá, vlna s kladným je odražená. (To se dá snadno nahlédnout, přejdeme-li od symbolů ke skutečným hodnotám. ) Na konci vedení délky l jest reflexní koeficient dán výrazem

images/10_1/image093.gif

takže

images/10_1/image095.gif

 

images/10_1/image096.gif          (D10)