Indukovaný proud

Uvnitř interakčního prostoru se vytvoří určitá proudová hustota, která je funkcí souřadnic a času. Ve vnějším obvodu teče pak nějaký proud. Vztah mezi vodivým proudem uvnitř vysokofrekvenční elektronky a proudem ve vnějším obvodu, je složitý. V některých případech se docílí zjednodušení, vezme-li se v úvahu indukovaný proud.

Uveďme jednoduchý příklad: Uvnitř rovinného kondenzátoru (obr. 5.2.1), který se skládá ze dvou elektrod (katody K a anody A) se pohybuje záporný náboj -q. V určitém okamžiku t je náboj v poloze dle obr. 5.2.1 a indukované náboje na elektrodách qK, qA musí vyhovovat podmínce . Vzhledem k tomu, že jejich vzájemná velikost závisí na vzdálenosti -q od příslušné elektrody, mění se během pohybu náboje -q v prostoru mezi elektrodami velikost nábojů indukovaných na obou elektrodách a při vnějším spojení elektrod vodičem teče obvodem nějaký proud. Všimněme si, že tento proud teče i tehdy, jestliže náboj -q na žádnou z obou elektrod nedospěl: bude-li např. -q kmitat mezi elektrodami, poteče ve vnějším obvodu střídavý proud.

Obr. 5.2.1  Rovinný kondenzátor

Jak určovat indukovaný proud? 

Je to poměrně snadné pro soustavy elektrod, které jsou všechny ss uzemněné. Potom podle Rammovy věty platí

          (5.2.1),

kde q  je pohybující se náboj, jeho rychlost a intenzita pole, které by bylo v dané soustavě, kdyby všechny elektrody byly uzemněné, referenční elektroda (jí teče indukovaný proud) měla potenciál +1, a náboj v soustavě nebyl.

Obr. 5.2.2  a) skutečná situace: všechny elektrody uzemněné a náboj q  uvnitř se pohybuje rychlostí .

                 b) náhradní situace: jedna elektroda na potenciálu +1, náboj tam není.

Rozdělení potenciálu v případě a) nechť je , v případě b)

Aplikujeme na tuto situaci Greenovu větu:

Integrujeme přes objem z něhož vydělíme elektrody a náboj.

Integrační plochu rozdělíme na tři části:

plocha referenční elektrody              S₁

plochy ostatních elektrod               

kulová plocha obklopující náboj         Sq

V obou soustavách platí . Dále jsou integrály přes plochy S nulové, neboť jak j, tak j'  je na elektrodách nulová. Integrujeme jen přes plochu referenční elektrody a přes kulovou plochu kolem náboje:

neboť j'  = 1,j = 0

a dále

V posledním výrazu představují integrály tok  plochou koule. Ten je podle Gaussovy věty nulový, není-li uvnitř náboj, což se vztahuje k druhému integrálu (čárkovaná intenzita ). Výsledný výraz má tvar:

První integrál vyjádříme pomocí fiktivního náboje q₁

Odtud fiktivní proud odpovídající náboji q₁

,

což právě odpovídá výše vyslovené Rammově větě.

Poznámka: v případě, že všechny elektrody nejsou uzemněné, je možné též dojít k použitelnému, ale podstatně komplikovanějšímu výsledku. Vzhledem k tomu, že v aplikacích nebudeme tento složitější výraz potřebovat, není zde uveden.

Výše uvedený postup budeme aplikovat na proud indukovaný v rovinné diodě, ve které jsme zanedbali krajové efekty a tím získali jednorozměrný případ. 

Nechť plocha rovinných elektrod je P, jejich vzdálenost d. Potom

a

          (5.2.2)

Dostali jsme pro tento případ vztah mezi vodivým proudem elektronů v diodě a proudem indukovaným ve vnějším obvodu. V tomto případě vyjde též jednoduchý vztah mezi výkonem elektronového svazku  a indukovaným proudem, neboť

a obdobně

Získané vztahy pro rovinnou diodu jsou však prosté jen zdánlivě. problém spočívá v tom, že i( x, t ) obvykle obecně neznáme. Známe jen hustotu proudu při vstupu (obvykle homogenního svazku) do diody:i( 0, t ), kde t = t pro x = 0 je okamžik vstupu elektronu do diody. Zvolíme-li si uvnitř rovinné diody libovolnou rovinu x = konst, plyne ze zákona zachování náboje, že náboj prošlý plochou x = 0 musí být stejný jako náboj prošlý plochou x

odkud

          (5.2.3)

(místo i( 0, t ) píšeme pro zestručnění pouze i( t )).

Uvědomíme si, že x = x( t,t )je trajektorie elektronu v rovinné diodě. Jejím diferencováním dostaneme

a pro rovinu x = konst je dx = 0, takže

kde v( t,t ) je rychlost elektronu v čase t, který vstoupil do diody v okamžiku t. Dosazením do (5.2.3) a vynásobením dx dostaneme

a místo (5.2.2) máme

         (5.2.4)

kde T je průletová doba, tj. čas potřebný k tomu, aby elektron dospěl od roviny x = 0 do roviny x = d, neboť platí pro x = 0:  t = t  a prox = d:  t = t - T.

Uvědomte si, že elektron, který je v čase  t v rovině x = 0, tam v témže čase vstoupil do diody, elektron, který je v čase  t v rovině x = d,  musel vstoupit do diody dříve a to právě o průletovou dobu T. Výraz (5.2.4) můžeme tedy integrovat, jestliže známe rychlost (dostaneme z trajektorie), konvekční proud ve vstupní rovině (je často konstantní) a průletovou dobu. Bohužel  tím se naše úloha zjednodušila jen zdánlivě, neboť průletová doba není stejná pro všechny elektrony a závisí opět na okamžiku vstupu elektronu do diody. Objasníme si tuto okolnost později na případě rovinné vysokofrekvenční diody, k níž je přiloženo sinusové napětí. Dříve, než k tomu přistoupíme, všimněme si ještě obecné závislosti ,neboť jsme k získání (5.2.3) použili výrazu, kde se nepřímo vyskytovala derivace  ( t považujeme nyní za konstantu). Tato závislost nemá samozřejmě smysl, pokud by šlo o jeden elektron, protože je to závislost souřadnic všech elektronů v jednom okamžiku t, které vstoupily do diody v různých časech t. Jeden možný průběh takové závislosti je na obr. 5.2.3 vlevo, jiný na obr. 5.2.3 vpravo.

Obr. 5.2.3  Dva možné průběhy závislost souřadnic všech elektronů v jednom okamžiku t, které vstoupily do diody v různých časech t.

Je vidět, že zde máme dvě rozdílné situace:

1. je všude  a proudová hustota podle (5.2.3) je všude konečná.
2. v určité oblasti (mezi rovinami x = x₀ a x = x₂přísluší k jednomu x několik hodnot t (ve vyobrazeném případě jsou to tři), což znamená, že v těchto rovinách se sešly v době t elektrony, které v různých okamžicích t vstoupily do diody. Oblast je vymezena hodnotami x, pro něž platí . V těchto bodech proudová hustota podle (5.2.3) nabývá nekonečné hodnoty. To je způsobeno tím, že se zde elektrony „dohánějí“: elektron, který vstoupil do diody později, ale nabyl nebo již měl větší rychlost, dohoní elektron, který vstoupil dříve, ale je pomalejší: dochází k rychlostní fokusaci, nastává shlukování elektronů.

Poznámka: výsledek, že proudová hustota podle (5.2.3) nabývá v případě shlukování nekonečné hodnoty, je fyzikálně nesprávný a vznikl tím, že jsme zanedbali coulombovské vzájemné působení elektronů - nemůže se stát, aby více elektronů bylo současně v témže bodě. Přesto byly vypracovány metody, které i bez zavedení vzájemného odpuzování elektronů umožňují obejít takto vzniklou potíž. Nebudeme se těmito metodami zabývat.

<<< předchozí | hlavní stránka | další >>>