Dutinové resonátory mají v oblasti mikrovln a kratších (optických) podobnou funkci jako resonanční obvody v radiofrekvenčním oboru.
Nyní se budeme zabývat podrobněji vlastnostmi dutinových resonátorů. Nejprve budeme zkoumat elektromagnetické pole v ideálním dutinovém resonátoru, což je dutina vyplněná vakuem (nebo bezeztrátovým dielektrikem) zcela uzavřená ideálně vodivými stěnami libovolného tvaru, objemu V a plochy P, (obr. 4.1.1). Platí: (4.1.1) (4.1.2) (4.1.3)
|
|
Obr. 4.1.1 Ideální dutinový resonátor |
Zajímá nás otázka, jaké elektromagnetické pole uvnitř dutiny V může existovat. Aplikujeme tedy na rovnici (4.1.2) operaci rot a máme
(4.1.4)
Řešení budeme psát ve tvaru
, takže z (4.1.4) dostaneme
Vzhledem k tomu, že pravá strana nezávisí na čase musí být
.
Označíme a dostaneme
(4.1.5)
Z rovnice (4.1.5) vyjádříme , čímž získáme jednak obecný vzorec, který určuje charakteristickou frekvenci pomocí prostorové struktury pole v dutině, a také dokážeme, že je pozitivní (existují kmity). Postupujeme následujícím způsobem:
rovnici (4.1.5) násobíme zleva a integrujeme přes objem resonátoru:
Použitím vzorce
a s přihlédnutím k tomu, že
máme
Avšak
Z okrajových podmínek vyplývá, že vektory a jsou na stěnách rovnoběžné, takže integrál přes plochu P je nulový a pro ideální resonátor dostaneme
(4.1.6)
Tím jsme dostali výraz pro (a tedy také pro ), který je kladný. To znamená, že existují netlumené kmity na charakteristických frekvencích :
Dále se dá snadno dokázat, že střední hodnoty energie elektrického a magnetického pole
jsou stejné =
Při konečné vodivosti stěn jsou volné kmity v resonátoru provázeny ztrátami energie. I když neuvažujeme dielektrické ztráty a ztráty vyzařováním v reálném resonátoru. Jsou-li stěny ztrátové, neplatí již (4.1.3). Z toho plyne, že vektory a nejsou rovnoběžné a pro dostaneme po jednoduchých úpravách
kde označujeme nyní výraz (4.1.6) pro ideální resonátor.
Dosazením za
dostaneme
Dále použitím vztahů známých z výpočtu útlumu v reálném vlnovodu
kde je permeabilita vodivé stěny, a použitím hloubky skinu
dostaneme
Vzhledem k tomu, že , poměr integrálů a že můžeme reálnou část druhého členu v kroucené závorce zanedbat vedle jedné. Potom
(4.1.7)
Zcela analogicky můžeme psát pro :
kde
je činitel jakosti.
Vzorec (4.1.8) umožňuje jeho výpočet, je-li známa struktura magnetického pole uvnitř ideálního rezonátoru. Přesvědčíme se snadno, že Q podle (4.1.8) je zobecněním pojmu činitele jakosti u LRC obvodu.
Zde máme:
U paralelního LRC obvodu je útlumový faktor . Dosadíme-li podle definice , dostaneme analogický výsledek .
Poznámka: můžeme činitele jakosti vyjádřit bez použití analogie s LRC obvodem. Zjistili jsme, že amplituda elektrického nebo magnetického pole klesá jako , takže příslušná energie bude klesat jako .
odkud úbytek energie za jednotku času
a
Zatímco výpočet podle (4.1.8) je pro geometricky složitější dutiny obtížný, lze snadno odhadnout řádovou velikost činitele jakosti, neboť
Příklad: pro cm a cm je .