Ideální vlnovod obdélníkového průřezu


Předpokládáme, že elektromagnetická vlna se šíří vlnovodem obdélníkového průřezu (obr. 3.2.1) o délce stran a a b.

images/321.gif

Dále budeme předpokládat, že stěny vlnovodu jsou ideálně vodivé (vodivost prostředí images/03_2/image002.gif). Tento předpoklad  prakticky nemůže být splněn, ale značně zjednoduší okrajové podmínky -  v nekonečně vodivém obalu vlnovodu je tangenciální složka elektrického pole nulová, právě tak jako normálová složka magnetického pole. Současně, ve vlnovodu vyplněném vakuem a s ideálně vodivými stěnami nenastávají žádné tepelné ztráty a útlum images/03_2/image004.gif, takže images/03_2/image006.gif je čistě imaginární, a images/03_2/image008.gif

 

Obr.3.2.1 Řez vlnovodem obdélníkového průřezu

 

Protože rovnice (3.1.5) a (3.1.6) pro podélné složky elektrického a magnetického pole jsou nezávislé, můžeme i vlny ve vlnovodech rozdělit na transverzálně magnetické TM (E), kdy images/03_2/image010.gif a transversálně elektrické TE (H), kdy images/03_2/image012.gif.

Vybereme si vlnu TM v ideálním vlnovodu obdélníkového průřezu, se stranami a,b (obr. 3.2.1). Rovnici (3.1.5) řešíme obvyklou metodou separace proměnných. Položíme

images/03_2/image016.gif, odkud plyne

images/03_2/image018.gif

takže

images/03_2/image020.gif

Řešení je typu images/03_2/image022.gif. images/03_2/image024.gifdostaneme vynásobením obecných řešení rovnic pro X a Y. Společné řešení nebudeme vypisovat. Zvolíme takové, které splní podmínky pro ideální vlnovod: tangenciální složka E na stěnách musí být nulová, takže images/03_2/image030.gif a images/03_2/image032.gif. Ihned vidíme, že vhodné jsou pouze siny, takže

images/03_2/image034.gif      (3.2.1)

Dostaneme ještě podmínky pro zbývající dvě stěny 

images/03_2/image036.gif

tj. images/03_2/image038.gif

odtud

images/03_2/image040.gif, kde m,n jsou celá čísla

a máme

images/03_2/image042.gif

Dosadíme-li nyní za vlnové vektory images/03_2/image044.gif- vztahuje se k volnému prostoru a images/03_2/image046.gif-vztahuje se k vlnovodu, dostaneme následující výraz

images/03_2/image048.gif      (3.2.2)

L je vlnová délka ve vlnovodu, L2 musí být kladné. Šíření ve vlnovodu je možné jen pro ty vlnové délky l ve volném prostoru, pro něž platí, že images/03_2/image056.gif

Pro images/03_2/image058.gifse vlnová délka L ve vlnovodu stává nekonečnou, šíření vlnovodem přestává. Tato vlnová délka se nazývá kritická a platí pro ni vztah

images/03_2/image061.gif             (3.2.3)

Všechny vlnové délky, které jsou ve volném prostoru delší než kritické se vlnovodem šířit nemohou. Kritické vlnovodové délce odpovídá kritická frekvence images/03_2/image063.gif. Vyjádříme-li vlnovou délku ve vlnovodu L pomocí frekvence signálu, dostaneme vztah images/03_2/image067.gif z čehož je patrné, že vlnovod je disperzní prostředí (vlnová délka závisí na frekvenci). Dále pro fázovou rychlost šíření vln ve vlnovodu platí images/03_2/image069.gif a pro grupovou rychlost images/03_2/image071.gif.

Pro vlny TE (H) platí obdobně images/03_2/image073.gif. Složky polí dostaneme řešením rovnice (3.1.6) včetně okrajových podmínek a výpočtem podle (3.1.7) až (3.1.10). Pro ideální vodič platí, že normálové složky intenzity magnetického pole na vodiči jsou nulové. Podle obr. 3.2.1 je

images/03_2/image075.gif

Vzhledem k tomu, že images/03_2/image077.gif~ images/03_2/image079.gif a images/03_2/image081.gif~ images/03_2/image083.gif, pak při obdobném postupu jako při řešení rovnice (3.1.5) vyhovují těmto okrajovým podmínkám cosiny, takže dostaneme

images/03_2/image085.gif      (3.2.4)

Pro kritickou vlnovou délku dostaneme opět výraz (3.2.3). Celá čísla m,n se nazývají indexy a označují vid (modus) příslušné vlny. Vlna se označuje takto: images/03_2/image089.gif nebo  images/03_2/image093.gif.

Pro vlnu images/03_2/image095.gif dostaneme netriviální výsledek i při jednom indexu nulovém. Pro vlnu images/03_2/image097.gif nemůže být vzhledem k (3.2.2) ani jeden index nulový a nejnižší vid má images/03_2/image099.gif a images/03_2/image101.gif. Pomocí indexů se značí i kritické vlnové délky jako images/03_2/image103.gif. Vlny typu H a E mají při shodných indexech stejnou kritickou vlnovou délku, avšak příslušné vlny se svou strukturou liší. Jedna vlna, která se může šířit ve vlnovodu obdélníkového průřezu má kritickou vlnovou délku největší. Jestliže je images/03_2/image105.gif(obr. 3.2.1),  jedná se o vlnu images/03_2/image107.gifa její kritická vlnová délka images/03_2/image109.gif.

Pro zjednodušení úvah budeme uvažovat specielní případ vlnovodu čtvercového průřezu, tj. images/03_2/image111.gif. Nyní můžeme snadno seřadit vidy podle kritických vlnových délek:

 

vid

l0

 H10 , (H01)

2a

H11, E11

1, 413a

 H20, (H02)

a

H12, E12

0, 846a

H22, E12

0, 718a

 H30, (H03)

0, 666a

H13, E13

0, 632a

H23, E23

0, 554a

H40, (H04)

0, 500a

. .
. .
. .

 

 

Se stoupajícími hodnotami indexů klesá kritická vlnová délka. Můžeme si tento výsledek znázornit takto (obr. 3.2.2).

 

 images/322.gif

Obr.3.2.2 Závislost vlnové délky na indexu

Směrem doleva od kritické vlnové délky se mohou šířit vlny, které jsou kratší. Z toho plyne, že v barevné oblasti (mezi l = 2a a l = 1,413a) se může šířit pouze vlna H10, která má nejdelší kritickou vlnovou délku, (vlna dominantní). To má důležitý praktický význam. V ostatních oblastech se mohou šířit všechny vidy, pro něž l leží nalevo od jejich kritické vlnové délky a je třeba speciálních opatření, aby se mohl šířit jen žádoucí vid.

Strukturu pole ve vlnovodu pravoúhlého průřezu dostaneme z rovnic pro složky pole např. z rovnice (3.2.4). Skutečné hodnoty pole získáme vynásobením složky výrazem images/03_2/image121.gif. Vezmeme reálnou nebo imaginární část. Z rovnice (3.2.4) tedy máme

images/03_2/image123.gif

a obdobné výrazy stejným postupem pro ostatní složky z rovnic (3.1.7) až (3.1.10). Je obvyklé znázorňovat průběhy elektromagnetických polí ve vlnovodech pomocí „siločar“ (podobně jako v elektrostatice nebo magnetostatice). To znamená, že si zvolíme určitý čas (např. images/03_2/image125.gif) a v tomto okamžiku „pořídíme“ záběr siločar, obecně řešením rovnic

images/03_2/image127.gif

Pro vlnu H10 a pro t = 0 dostaneme:

images/03_2/image133.gif

kde images/03_2/image135.gif

a images/03_2/image137.gif je intenzita y-ové (a v tomto případě jediné) složky elektrického pole pro images/03_2/image139.gif (resp. images/03_2/image141.gif). Siločáry elektrického pole mají směr osy y,magnetické siločáry jsou stejné ve všech rovinách XZ a jsou vyjádřeny rovnicemi

images/03_2/image145.gif

 

Vlna TE10
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

images/323a.gifimages/323b.gif
Nenulové složky pole Hz, Hx, Ey
l0 2a

Obr.3.2.3 Vlna TE10

 

Vlna TE11
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

images/324a.gifimages/324b.gif
Nenulové složky pole Hz, Hx, Hy, Ex, Ey
l0 images/03_2/image197.gif

Obr.3.2.4 Vlna TE11

 

Vlna TE21
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

images/325a.gifimages/325b.gif
Nenulové složky pole Hz, Hx, Hy, Ex, Ey
l0 images/03_2/image199.gif

Obr.3.2.5 Vlna TE21

 

Vlna TM11
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

images/326a.gifimages/326b.gif
Nenulové složky pole Ez, Ex, Ey, Hx, Hy
l0 images/03_2/image197.gif

Obr.3.2.6 Vlna TM11

 

Vlna TM21
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

images/327a.gifimages/327b.gif
Nenulové složky pole Ez, Ex, Ey, Hx, Hy
l0 images/03_2/image199.gif

Obr.3.2.7 Vlna T21

 

Podobným způsobem lze získat představu o struktuře pole v obdélníkovém vlnovodu i u vyšších vidů. Na obr. 3.2.3 až 3.2.7 jsou znázorněny vlny TE10,TE11,TE21,TM11,TM21 a charakteristické údaje (l0a nenulové složky pole).

Poznámka: někdy se používají místo vektorů images/03_2/image149.gif a images/03_2/image151.gif ve vlnovodech Hertzovy vektory images/03_2/image153.gif a images/03_2/image155.gif (elektrický a magnetický). Elektrický Hertzův vektor souvisí s vektorovým potenciálem images/03_2/image157.gif vztahem

images/03_2/image159.gif

takže

images/03_2/image161.gif

a

images/03_2/image163.gif

Vektor images/03_2/image165.gif vyhovuje vlnové rovnici

images/03_2/image167.gif

a na povrchu ideálního vodiče platí images/03_2/image169.gif.

Magnetický Hertzův vektor images/03_2/image171.gif je dán vztahy

images/03_2/image173.gif

a splňuje vlnovou rovnici stejnou jako images/03_2/image175.gif. Na povrchu ideálního vodiče je images/03_2/image177.gif. Elektromagnetická pole popsaná vektory images/03_2/image179.gif a images/03_2/image181.gif nejsou stejná, jedním z obou vektorů nelze vyjádřit všechna řešení. Pomocí elektrického vektoru images/03_2/image183.gif lze ve vlnovodu popsat vlny TM(E). Dá se ukázat, že platí images/03_2/image185.gif avšak images/03_2/image187.gif a to jest images/03_2/image189.gif. Obdobně pro vlny TE(H) vyjádřené pomocí Hertzova magnetického vektoru images/03_2/image191.gif platí images/03_2/image193.gifa images/03_2/image195.gif.

V tomto pojednání nebudeme používat Hertzovy vektory. Jejich praktický význam tkví v tom, že vhodně formalizují dva způsoby buzení elektromagnetických vln - pomocí elektrického dipólu (antény) nebo pomocí magnetického dipólu (závitu protékaného proudem). To jsou však problémy zasahující za rámec našich cílů. V literatuře věnované vlnovodům se však můžete s formalizmem používajícím Hertzovy vektory setkat.