Ideální vlnovod obdélníkového průřezu


Předpokládáme, že elektromagnetická vlna se šíří vlnovodem obdélníkového průřezu (obr. 3.2.1) o délce stran a a b.

Dále budeme předpokládat, že stěny vlnovodu jsou ideálně vodivé (vodivost prostředí ). Tento předpoklad  prakticky nemůže být splněn, ale značně zjednoduší okrajové podmínky -  v nekonečně vodivém obalu vlnovodu je tangenciální složka elektrického pole nulová, právě tak jako normálová složka magnetického pole. Současně, ve vlnovodu vyplněném vakuem a s ideálně vodivými stěnami nenastávají žádné tepelné ztráty a útlum , takže  je čistě imaginární, a

 

Obr.3.2.1 Řez vlnovodem obdélníkového průřezu

 

Protože rovnice (3.1.5) a (3.1.6) pro podélné složky elektrického a magnetického pole jsou nezávislé, můžeme i vlny ve vlnovodech rozdělit na transverzálně magnetické TM (E), kdy  a transversálně elektrické TE (H), kdy .

Vybereme si vlnu TM v ideálním vlnovodu obdélníkového průřezu, se stranami a,b (obr. 3.2.1). Rovnici (3.1.5) řešíme obvyklou metodou separace proměnných. Položíme

, odkud plyne

takže

Řešení je typu . dostaneme vynásobením obecných řešení rovnic pro X a Y. Společné řešení nebudeme vypisovat. Zvolíme takové, které splní podmínky pro ideální vlnovod: tangenciální složka E na stěnách musí být nulová, takže  a . Ihned vidíme, že vhodné jsou pouze siny, takže

      (3.2.1)

Dostaneme ještě podmínky pro zbývající dvě stěny 

tj.

odtud

, kde m,n jsou celá čísla

a máme

Dosadíme-li nyní za vlnové vektory - vztahuje se k volnému prostoru a -vztahuje se k vlnovodu, dostaneme následující výraz

      (3.2.2)

L je vlnová délka ve vlnovodu, L2 musí být kladné. Šíření ve vlnovodu je možné jen pro ty vlnové délky l ve volném prostoru, pro něž platí, že

Pro se vlnová délka L ve vlnovodu stává nekonečnou, šíření vlnovodem přestává. Tato vlnová délka se nazývá kritická a platí pro ni vztah

             (3.2.3)

Všechny vlnové délky, které jsou ve volném prostoru delší než kritické se vlnovodem šířit nemohou. Kritické vlnovodové délce odpovídá kritická frekvence . Vyjádříme-li vlnovou délku ve vlnovodu L pomocí frekvence signálu, dostaneme vztah  z čehož je patrné, že vlnovod je disperzní prostředí (vlnová délka závisí na frekvenci). Dále pro fázovou rychlost šíření vln ve vlnovodu platí  a pro grupovou rychlost .

Pro vlny TE (H) platí obdobně . Složky polí dostaneme řešením rovnice (3.1.6) včetně okrajových podmínek a výpočtem podle (3.1.7) až (3.1.10). Pro ideální vodič platí, že normálové složky intenzity magnetického pole na vodiči jsou nulové. Podle obr. 3.2.1 je

Vzhledem k tomu, že ~ a ~ , pak při obdobném postupu jako při řešení rovnice (3.1.5) vyhovují těmto okrajovým podmínkám cosiny, takže dostaneme

      (3.2.4)

Pro kritickou vlnovou délku dostaneme opět výraz (3.2.3). Celá čísla m,n se nazývají indexy a označují vid (modus) příslušné vlny. Vlna se označuje takto:  nebo  .

Pro vlnu  dostaneme netriviální výsledek i při jednom indexu nulovém. Pro vlnu  nemůže být vzhledem k (3.2.2) ani jeden index nulový a nejnižší vid má  a . Pomocí indexů se značí i kritické vlnové délky jako . Vlny typu H a E mají při shodných indexech stejnou kritickou vlnovou délku, avšak příslušné vlny se svou strukturou liší. Jedna vlna, která se může šířit ve vlnovodu obdélníkového průřezu má kritickou vlnovou délku největší. Jestliže je (obr. 3.2.1),  jedná se o vlnu a její kritická vlnová délka .

Pro zjednodušení úvah budeme uvažovat specielní případ vlnovodu čtvercového průřezu, tj. . Nyní můžeme snadno seřadit vidy podle kritických vlnových délek:

 

vid

l0

 H10 , (H01)

2a

H11, E11

1, 413a

 H20, (H02)

a

H12, E12

0, 846a

H22, E12

0, 718a

 H30, (H03)

0, 666a

H13, E13

0, 632a

H23, E23

0, 554a

H40, (H04)

0, 500a

. .
. .
. .

 

 

Se stoupajícími hodnotami indexů klesá kritická vlnová délka. Můžeme si tento výsledek znázornit takto (obr. 3.2.2).

 

 

Obr.3.2.2 Závislost vlnové délky na indexu

Směrem doleva od kritické vlnové délky se mohou šířit vlny, které jsou kratší. Z toho plyne, že v barevné oblasti (mezi l = 2a a l = 1,413a) se může šířit pouze vlna H10, která má nejdelší kritickou vlnovou délku, (vlna dominantní). To má důležitý praktický význam. V ostatních oblastech se mohou šířit všechny vidy, pro něž l leží nalevo od jejich kritické vlnové délky a je třeba speciálních opatření, aby se mohl šířit jen žádoucí vid.

Strukturu pole ve vlnovodu pravoúhlého průřezu dostaneme z rovnic pro složky pole např. z rovnice (3.2.4). Skutečné hodnoty pole získáme vynásobením složky výrazem . Vezmeme reálnou nebo imaginární část. Z rovnice (3.2.4) tedy máme

a obdobné výrazy stejným postupem pro ostatní složky z rovnic (3.1.7) až (3.1.10). Je obvyklé znázorňovat průběhy elektromagnetických polí ve vlnovodech pomocí „siločar“ (podobně jako v elektrostatice nebo magnetostatice). To znamená, že si zvolíme určitý čas (např. ) a v tomto okamžiku „pořídíme“ záběr siločar, obecně řešením rovnic

Pro vlnu H10 a pro t = 0 dostaneme:

kde

a  je intenzita y-ové (a v tomto případě jediné) složky elektrického pole pro  (resp. ). Siločáry elektrického pole mají směr osy y,magnetické siločáry jsou stejné ve všech rovinách XZ a jsou vyjádřeny rovnicemi

 

Vlna TE10
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

Nenulové složky pole Hz, Hx, Ey
l0 2a

Obr.3.2.3 Vlna TE10

 

Vlna TE11
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

Nenulové složky pole Hz, Hx, Hy, Ex, Ey
l0

Obr.3.2.4 Vlna TE11

 

Vlna TE21
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

Nenulové složky pole Hz, Hx, Hy, Ex, Ey
l0

Obr.3.2.5 Vlna TE21

 

Vlna TM11
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

Nenulové složky pole Ez, Ex, Ey, Hx, Hy
l0

Obr.3.2.6 Vlna TM11

 

Vlna TM21
Siločáry:

1 - v rovině xz

2 - v rovině yz

3 - v rovině xy

Nenulové složky pole Ez, Ex, Ey, Hx, Hy
l0

Obr.3.2.7 Vlna T21

 

Podobným způsobem lze získat představu o struktuře pole v obdélníkovém vlnovodu i u vyšších vidů. Na obr. 3.2.3 až 3.2.7 jsou znázorněny vlny TE10,TE11,TE21,TM11,TM21 a charakteristické údaje (l0a nenulové složky pole).

Poznámka: někdy se používají místo vektorů  a  ve vlnovodech Hertzovy vektory  a  (elektrický a magnetický). Elektrický Hertzův vektor souvisí s vektorovým potenciálem  vztahem

takže

a

Vektor  vyhovuje vlnové rovnici

a na povrchu ideálního vodiče platí .

Magnetický Hertzův vektor  je dán vztahy

a splňuje vlnovou rovnici stejnou jako . Na povrchu ideálního vodiče je . Elektromagnetická pole popsaná vektory  a  nejsou stejná, jedním z obou vektorů nelze vyjádřit všechna řešení. Pomocí elektrického vektoru  lze ve vlnovodu popsat vlny TM(E). Dá se ukázat, že platí  avšak  a to jest . Obdobně pro vlny TE(H) vyjádřené pomocí Hertzova magnetického vektoru  platí a .

V tomto pojednání nebudeme používat Hertzovy vektory. Jejich praktický význam tkví v tom, že vhodně formalizují dva způsoby buzení elektromagnetických vln - pomocí elektrického dipólu (antény) nebo pomocí magnetického dipólu (závitu protékaného proudem). To jsou však problémy zasahující za rámec našich cílů. V literatuře věnované vlnovodům se však můžete s formalizmem používajícím Hertzovy vektory setkat.