Elektrické poleIntenzitu elektrického pole definujeme jako sílu působící na jednotkový náboj:
V látkovém prostředí definujeme vektor elektrické indukce ; kde je vektor elektrické polarizace (elektrický dipólový moment jednotky objemu). Obvykle se předpokládá lineární závislost ; kde χ je elektrická susceptibilita. Z toho , kde . Zdrojem toku elektrické indukce je náboj - elektrické pole je zřídlové. Platí Gaussova věta: Tok vektoru elektrické indukce uzavřenou plochou obklopující náboj q je úměrný množství náboje a nezávisí na tvaru plochy: neboli Ze zkušenosti plyne, že v elektrostatickém poli nezávisí práce, kterou vykoná náboj q po křivce, na tvaru křivky, neboli že pohybem po libovolné uzavřené křivce práci nekonáme: neboli . Z toho plyne, že lze napsat jako -grad φ. Pro φ platí Laplaceova -Poissonova rovnice . Energie elektrostatického pole: Práce vykonaná přemístěním bodového náboje q´ z ∞ do vzdálenosti r od bodového náboje q je rovna . Pro velké množství nábojů se tyto práce sčítají: (ve vzorci je , abychom každý příspěvek nepočítali dvakrát). Potenciál v místě j-tého náboje je a tedy ; za ρ dosadíme z Gaussovy věty div a použijeme identity:
Použijeme Gaussovu větu na první integrál: a bereme plochu v ∞ a první integrál je 0 a ; objemová hustota energie je . Zákon zachování náboje; plyne ze zkušenosti a experimentu; z něj plyne rovnice kontinuity (platí vždy):
Obr.1.3.1 Tečné složky na rozhraní dvou prostředí Tečné složky: ze vztahu neboli . Normálové složky: z Gaussovy věty neboli
|
Magnetické poleMagnetickou indukci definujeme pomocí silových účinků na pohybující se náboj: , kde je rychlost náboje. Vektor magnetické intenzity definujeme jako je vektor magnetizace (magnetický dipólový moment jednotky objemu látky), obvykle se předpokládá ; kde χ je magnetická susceptibilita, , kde . Z experimentů plyne, že magnetický indukční tok libovolnou uzavřenou plochou je vždy roven nule: , tj. neexistuje magnetický náboj, Ve statickém magnetickém poli je křivkový integrál magnetické intenzity podél uzavřené křivky ohraničující proud I úměrný velikosti tohoto proudu: (Ampérův zákon) neboli rot . Z rovnice plyne, že lze napsat jako , kde je definováno až na gradient φ kalibrační podmínka např. . Pak (homogenní prostředí). Energie magnetostatického pole: výraz je možné interpretovat jako interakční energii částice s vnějším magnetickým polem. Pro náboje s hustotou r: , kde . Pak . To je interakční energie proudu v daném poli . (je-li pole vytvořeno týmiž proudy , je třeba dělit výraz 2, abychom interval energií proudových elementů nezapočítali dvakrát) Veličinu interpretujeme jako práci potřebnou na vytvoření magnetického pole. Upravíme: , jsou-li proudy soustředěny v konečné oblasti a objemová hustota energie je . Na rozhraní dvou prostředí (z obdobné úvahy jako pro elektrostatiku a použitím vztahů a ):
|
Připomínáme definici divergence: (Einsteinova sumační konvence)
a definici rotace: (εijk - Levi - Civitův symbol)
Gaussova identita (věta):
Zkoumání časově proměnných polí odhalilo vzájemnou souvislost elektrických a magnetických polí. Proto dále nebudeme rozdělovat efekty magnetické od elektrických na dva sloupce.
První krok učinil M. Faraday. Objevil, že v uzavřené vodivé smyčce vzniká elektrický proud, když se v její blízkosti pohybuje magnet. Ukázalo se, že jev závisí na časovém úbytku (změně) indukčního toku tj. . Zatímco ve statickém případě je , je v časově proměnných polích veličina nenulová a je rovna právě , tj. : . Maxwell zobecnil Faradayův výsledek tak, že kontura, podle které se na levé straně integruje, nemusí běžet vodivým drátem, ale zcela libovolně. Pak je tedy .
Tato rovnice spolu s rovnicí tvoří 2. sérii Maxwellových rovnic. Maxwell dále postuloval, že rovnice zůstane v platnosti i pro nestacionární pole . Rovnice kontinuity pak říká: , za r dosadíme a máme: (v nestacionárním případě: neboť ).
Veličinu nazval Maxwell posuvným proudem a v rovnici nahradil ; tedy ; to je konzistentní s rovnicí kontinuity, neboť a tedy .
Maxwellovy rovnice tedy zní:
I. série |
II. série |
|
|
|
rovnice kontinuity |
|
|
= 0 |