Chová-li se plyn jako ideální, musí být pro látkové množství 1 mol (N = {N_A}) součin tlaku p a molárního objemu V_m roven součinu molární plynové konstanty R a termodynamické teploty T(pV_m = RT). Protože m₀N_A je molární hmotnost M_m plynu, můžeme termodynamickou teplotu plynu vyjádřit vztahem

Vztah (5.26) můžeme použít obráceně. Známe-li termodynamickou teplotu plynu, můžeme jednoznačně určit takzvanou střední kvadratickou rychlost v_k

Největší střední kvadratickou rychlost při dané teplotě budou mít molekuly vodíku H₂. Jejich molární hmotnost je M_m = 2 g . mol^-1. Protože molární plynová konstanta R

8,3 J . K^-1 . mol^-1, bude mít molekulový vodíkový plyn při teplotě 300 K střední kvadratickou rychlost asi 1,9 km . s^-1.

než rychlost střely z pušky. Kdyby při průměrné teplotě vyšších vrstev atmosféry byla střední kvadratická rychlost molekul větší než I. kosmická rychlost, opouštěly by molekuly zemskou atmosféru.

V předchozím textu jsme uváděli důvody, proč střední hodnota druhé mocniny libovolné složky rychlosti je rovna právě jedné třetině střední hodnoty druhé mocniny rychlosti, např.

. Střední hodnota druhé mocniny x-ové složky rychlosti je proto rovna

kde k = R/N_A je Boltzmannova konstanta k

1,38 . 10^-23 J . K^-1. Veličinu v² můžeme spočítat též podle vztahu (5.7c)

Hustotu pravděpodobnosti

jsme vypočítali v článku 5.3. Porovnáním výsledku z (5.29) s hodnotou (5.28) určíme dosud přesně nespecifikované vyjádření rozptylu

Střední hodnota druhé mocniny složky rychlosti je rovna rozptylu

. Hustotu

S rostoucí teplotou se zvyšuje střední kvadratická rychlost a rozptyl a roste pravděpodobnost výskytu molekul s velkou absolutní hodnotou libovolné ze složek rychlosti. Střední hodnota složky rychlosti, která je zároveň i hodnotou

Nyní můžeme přepsat vztah pro hustotu pravděpodobnosti složky rychlosti (5.18) do obvykle používaného tvar

Průběh hustoty pravděpodobnosti složky rychlosti je pro několik teplot zakreslen na obr. 5-3. Průběh odpovídá molekulám vodíku H₂.

Směr pohybu molekuly nás obvykle příliš nezajímá, chceme znát odpověd na otázku, jaká je pravděpodobnost, že velikost rychlosti bude z intervalu (v, v + dv).

Koncové body vektoru rychlosti vyplňují v tomto případě kulovou slupku o poloměru v a tloušťce dv. Její objem je 2nv² dv. Hustota pravděpodobnosti

je určena druhou mocninou rychlosti molekuly

. Nevzniknou proto potíže, nahradíme-li elementární objem dv_x, dv_y, dv_z, vyjádřený v pravoúhlých souřadnicích, elementárním objemem

vyjádřeným ve sférických souřadnicích. Hustota pravděpodobnosti, že molekula má rychlost z intervalu (v, v + dv), pak určuje výraz

Díky předexponenciálnímu členu, obsahujícímu v², je hustota pravděpodobnosti pro v = 0 rovna nule. Molekuly nemohou mít zápornou velikost rychlosti, takže

i pro v < 0. Hustota pravděpodobnosti je v tomto případě funkce nesymetrická. Její průběh je zakreslen na obr. 5-9. Měřítka na osách byla zvolena tak, že vynesená závislost odpovídá dusíku při teplotách vyznačených jako parametr u jednotlivých křivek.

Maximum křivek odpovídá nejpravděpodobnější hodnotě rychlosti v . Vzhledem k nesymetrii křivek není nejpravděpodobnější rychlost totožná se střední rychlostí. Stanovíme ji jako maximum funkce (5.62). V maximu musí být derivace

nulová, tedy

Další veličinou charakterizující rozdělení rychlostí je střední rychlost

. Podle definice (5.7b) bude

Zobrazit doplňující text

Tento integrál je roven záporně vzaté derivaci integrálu

podle parametru . Předchozí integrál není obtížný spočítat, prove-deme-li substituci . Protože , bude dáno výrazem

(5.65)

5.6 Teplota plynu a střední kvadratická rychlost molekul